Niveau maths spé

Mouvements à forces centrales

Posté par
Narfi 17-02-16 à 21:46

Salut !

En regardant quelques exercices d'oraux corrigés, j'ai essayé de traiter un exercice qui est traité dans le corrigé avec les coniques (notion maintenant hors programme) d'une manière différente, mais je tombe sur des résultats différents.

En gros, on a un satellite en orbite circulaire autour d'un astre. Un incident se produit et la vitesse dévie d'un angle par rapport au vecteur orthoradial. A quelle condition sur ne s'écrase-t-on pas sur l'astre ?

J'ai commencé par déterminer la vitesse de révolution, on trouve facilement $v = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}$ , r0 étant le rayon de l'orbite, M la masse de l'astre.
L'énergie mécanique s'écrit donc $Em = - \frac{GMm}{2r}$ , et est constante.

Le moment cinétique est aussi conservé et on l'exprime de deux manières :
$\vec{L}_0 = r_0 m v_0 \cos \alpha \widehat{e}_z = r^2 \dot{\theta} \widehat{e}_z$ , et on pose $\mathcal{C} = r v_0 \cos \alpha = \sqrt{r_0 GM}\cos \alpha$ .

Après l'incident, l'énergie mécanique s'écrit alors :
$Em = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{m \mathcal{C}^2}{2 r^2} - \frac{GMm}{r}$ , et cette énergie est toujours égale à l'expression précédente.

Le périgée et l'apogée vérifient alors l'équation quand $\dot{r} = 0$ , soit, après résolution, et à la limite :
$\cos^2 \alpha = \frac{r_0^2 - 2 R r_0 + 2 R^2}{r_0^2}$
Mais dans le corrigé, ils trouvent :
$\sin \alpha = 1- \frac{R}{r_0}$

Est-ce que j'ai fait une erreur de calcul ? Ou bien est-ce que mon raisonnement est faux ?
Merci d'avance,

Posté par re : Mouvements à forces centrales 18-02-16 à 12:21

Bonjour,

Citation :
L'énergie mécanique s'écrit donc $Em = - \frac{GMm}{2r}$ , et est constante.

Il s'agit je pense de : $Em = - \frac{GMm}{2r_0}$
Ensuite, effectivement :
$C=r^{2}\cdot\dot{\theta}=\cos\left(\alpha\right)\cdot\sqrt{GMr_{0}}$
D'accord avec ton expression de l'énergie mécanique.
Pour la suite, sans schéma et sans énoncé précis, je ne vois pas trop quel critère tu as choisi pour que la collision n'ait pas lieu avec l'astre central (de rayon R et de masse M je suppose).

Posté par re : Mouvements à forces centrales 18-02-16 à 12:32

Oui, c'est bien $r_0$ , désolé.

En fait j'ai juste fait une erreur de calcul, ça fonctionne bien :
Au périgée et à l'apogée, $\dot{r} = 0$ , donc $r_p, r_a$ sont solutions de $\frac{m r_0 GM \cos^2 \alpha}{2 r^2} - \frac{G M m}{r} = - \frac{GMm}{2r_0}$ ou encore $r^2 - 2r r_0 + r_0^2 \cos^2 \alpha = 0$ . Donc $r_a = r_0 (1+ \sin \alpha), r_p = r_0 (1- \sin \alpha)$ .
Pour qu'il n'y ait pas de collision, il faut que $r_P > R$ , et donc $\sin \alpha < 1- \frac{R}{r_0}$

Posté par re : Mouvements à forces centrales 18-02-16 à 13:45

Parfait ! Cet exo n'est pas évident compte tenu des programmes actuels !

Posté par re : Mouvements à forces centrales 18-02-16 à 13:54

Je trouve ça dommage qu'ils aient viré les coniques, la résolution aurait été plus facile et ça aurait permis pas mal d'autres exercices à ce que j'ai vu. Mais bon, ils ont l'air de s'être mis en tête de réduire le programme...

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