Niveau maths sup

Mouvement sur une ellipse

Posté par
Iviod 01-09-16 à 13:19

Bonjour ,

En travaillant un exercice de la cinématique du point , je ne comprend pas solution d'une question. Je me tourne donc vers vous afin de me clarifier cette solution.

Voici l'énoncé :

Un point M se déplace sur une ellipse d'équation cartésienne (x/a)²+(y/b)² = 1 . On note l'angle que fait $\vec{OM}$ avec l'axe (Ox). Les coordonnées de M peuvent s'écrire :
$\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x(t) & \alpha cos(wt+\phi ) \\ y(t) & \beta sin(wt+\psi ) \end{array} \right.$
où l'on suppose que w est une constante.
1) A t=0 , le mobile est en M₀(a,0). Déterminer , $\phi , \psi$
2) Des autres donées, déduire
3) Déterminer les composantes de la vitesse et de l'accélération.
4) Montrer que l'accélération est de la forme $\vec{a}=-w^{2}\vex{OM}$ Commenter.

Pour la première question j'ai du voir la solution que je n'ai pas comprise :
<<On a à t=0 x(0)=a et y(0)=0 , donc acos()=a , et sin()=0 . On en déduit que =a , =0 , =0 >>

Pourtant peut égaler cos^-1(a/) non ? Et aussi =2 et = non ? Je ne vois pas comment ils ont fait pour choisir les autres valeurs. Ils ont simplement écrit : "on déduit..."

J'espère que quelqu'un puisse m'aider .

Merci d'avance !

Posté par re : Mouvement sur une ellipse 01-09-16 à 14:10

Bonjour

Citation :
Et aussi

Tu as raison bien sûr mais, en physique, on convient une fois pour toute que les angles sont déterminés "modulo 2

". Ecrire

=0 sous-entend :

=0 [2

]

Citation :
et

non ?

Là : tu as raison : l'énoncé est imprécis : il devrait préciser que

sont trois valeurs choisies arbitrairement positives et surtout : il devrait indiquer le sens du mouvement sur l'ellipse.
Si le mouvement se fait dans le sens trigonométrique : à t = 0 : y(0)=0 ; v_y(0) > 0. Cela conduit à :

$\beta.\sin\left(\psi\right)=0\quad et\quad\beta.\omega.\cos\left(\psi\right)>0\quad soit\quad\psi=0\:\left[2\pi\right]$
En revanche, si le mouvement se fait dans le sens des aiguilles d'une montre : à t = 0 ; v_y(0) < 0. Cela conduit à :

$\beta.\sin\left(\psi\right)=0\quad et\quad\beta.\omega.\cos\left(\psi\right)<0\quad soit\quad\psi=\pi\:\left[2\pi\right]$
Manifestement, ta correction suppose le mouvement dans le sens trigonométrique. Dans ce cas, la relation entre le carré du sinus et le carré du cosinus conduit directement à :

$\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}}=1$
Par identification avec l'équation de la trajectoire fournie, tu as immédiatement :

=b.
Evidemment, l'énoncé devrait aussi préciser que a et b sont deux réels positifs...

Posté par re : Mouvement sur une ellipse 01-09-16 à 14:20

Merci énormément pour votre réponse.

Une petite faute que j'ai commis dans l'écriture de la solution, on a <<cos( $\phi$ =a ...>> , ils ont conclut que =a et cos( $\phi$ )=1 ...
J'ai bien compris ce que vous avez dit à propos des angles et aussi pour =b puisque c'est la seule valeur qui vérifie l'équation cartésienne pour tout t, mais pour le je ne vois vraiment pas comment ils ont pu déduire qu'il égale à a et le cos à 1..

Merci encore pour votre réponse !

Posté par re : Mouvement sur une ellipse 01-09-16 à 14:40

Citation :
pour le je ne vois vraiment pas comment ils ont pu déduire qu'il égale à a et le cos à 1..

Bravo pour ton sens critique ! L'équation fournie de l'ellipse montre que la trajectoire est une ellipse dont les axes (Ox) et (Oy) sont les axes de symétries, le demi grand axe étant a, le demi petit axe étant b. Place le point M_o sur la trajectoire, tu comprendras alors qu'à t = 0, la composante v_x de la vitesse est nécessairement nulle. Cela conduit à :

$\alpha.\cos\left(\varphi\right)=a\quad et\quad-\alpha.\omega.\sin\left(\varphi\right)=0\quad soit\quad\varphi=0\:\left[2\pi\right]\quad et\quad\alpha=a$

Posté par re : Mouvement sur une ellipse 01-09-16 à 14:46

Je vois, vous avez raison.
Merci infiniment pour vos réponses. Sa m'a beaucoup aidé.

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