Niveau maths sup

Mouvement sur une courbe plane

Posté par
iSirrol 02-09-15 à 19:00

salut

$M$ décrit dans le plan $xOy$ la courbe : $r\cos( \frac{\theta}{2})=a$
nous sommes dans le cas d'une accélération centrale de $M$ de pôle $O$

$\theta(t=0)=0$ $\dot{\theta}(t=0)=\omega$

je dois exprimer $\theta(t)$ en fonction de $a$ , $\omega$ et $t$

si je pars de la constante des aires $C=r^2\dot{\theta}$ j'ai :

$r^2\dot{\theta}(t=0)=r^2\dot{\theta}(t)$ et $a(t=0)=r$

or on me dit qu'on peut écrire d'après ce qu'il y a au dessus que :
$a^2\omega=r^2\dot{\theta}(t)$ , je ne comprend pas pourquoi on peut écrire cela alors que pour moi ce serait légitime d'écrire : $a(t=0)^2\omega=r^2\dot{\theta}(t)$ , ce qui n'est pas du tout pareil car dans la première écriture $a$ n'est pas une constante or elle doit l'être.

merci de m'aiguiller si vous avez des pistes

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 19:29

Bonsoir,
Il ne s'agit pas plutôt de r(t=0) =a : constante ???

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 20:13

c'est certainement ça
j'ai mal compris l'énoncé

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 20:29

et lorsque l'on arrive à cette étape :

$\dot{\theta}=\cos ^2(\frac{\theta}{2})\omega$

comment integre t-on cela sachant qu'on m'a donné l'indication de dériver par rapport au temps la quantité $\tan (\frac{\theta}{2}))$

je trouve $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\tan (\frac{\theta}{2}))=\dfrac{1}{\cos ^2(\frac{\theta}{2})}\dfrac{\dot{\theta}}{2}$

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 20:57

Tu as fait le plus dur !
Ton résultat peut s'écrire :
$\frac{1}{\cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}\cdot\frac{\dot{\theta}}{2}=\frac{\omega}{2}$
soit :
$\frac{d\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}{dt}=\frac{\omega}{2}$
Cela conduit à :
$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\omega}{2}\cdot t+K$
où K est une constante que tu peux déterminer à partir du cas particulier de l'instant initial.

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 21:18

pour moi $K=0$ puisque à $t=0$ on a $\theta=0$ et $\tan\left(0)=0=K$

mais quel est le rapport avec la question posée à savoir trouver $\theta(t)$

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 02-09-15 à 22:45

La relation obtenue permet de calculer à chaque instant de date t ; cela est peut-être suffisant. Pour mettre le résultat sous la forme =f(t), il faut utiliser la fonction "arc tangente" mais je ne sais pas si cette fonction a déjà été étudiée en math.
Il est facile aussi d'obtenir r en fonction de t (si cela est demandé).

Posté par re : Mouvement sur une courbe plane 03-09-15 à 18:32

Finalement c'est bon, j'ai fini par trouver avec l'arctan. Merci

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