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Mouvement parabolique d'une balle

Posté par
Dragonfruit 26-09-17 à 20:19

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, mais j'aurai besoin d'aide pour le résoudre.

Une balle de masse m assimilée à un point matériel est lancée vers le haut à partir d'un point O depuis le sol avec une vitesse initiale \vec{vo} dans le plan (xOy), de norme \begin{Vmatrix} \vec{v0} \end{Vmatrix} et faisant un angle \alpha avec l'horizontale Ox. On fera l'étude du mouvement dans un repère (O, \vec{i}, \vec{j}), en négligeant les frottements. La figure 3 est obtenue expérimentalement à partir d'une chronophotographie de la trajectoire de la balle.

Mouvement parabolique d\'une balle

1) Exprimer les composantes v0x (selon \vec{i}) et v0y (selon \vec{j}) de la vitesse \vec{v0} au point O dans le repère (O, \vec{i}, \vec{j}), en fonction de sa norme \begin{Vmatrix} \vec{v0} \end{Vmatrix}, que l'on notera pour simplifier V0, et de l'angle \alpha.

2) Sachant que l'accélération vaut \vec{a} = -g \vec{j} (où g=9,81m.s-2, et en tenant compte de la vitesse et de la position à l'instant t=0 au point O, déterminer, dans le repère (O, \vec{i}, \vec{j}) :

- les composantes de l'accélération ax(t) et ay(t),
- les composantes de la vitesse vx(t) et vy(t),
- les composantes de la position x(t) et y(t).

On représentera les réponses sous la forme :

\begin{cases} & \text{ ax(t) } = ... \\ & \text{ ay(t) } = ... \end{cases}

\begin{cases} & \text{ vx(t) } = ... \\ & \text{ vy(t) } = ... \end{cases}

\begin{cases} & \text{ x(t) } = ... \\ & \text{ y(t) } = ... \end{cases}

3) En combinant les équations pour x(t)et y(t) pour faire disparaître le temps t, déterminer l'équation y(x) de la trajectoire. Est-ce en accord avec la trajectoire expérimentale de la figure 3 ? Justifiez votre réponse.

4) Représenter sur la figure 3 le vecteur vitesse \vec{v} ainsi que les composantes vx et vy aux points O, A, B, C et D.

5) La hauteur maximale atteinte par la balle est h au point B et à l'instant tB. Quelle est la vitesse \vec{vB} de la balle au point B ? Exprimer tB et les coordonnées (xB,h) du point B en fonction des données du problème.

6) La balle atteint le sol au point D à l'instant tD. Exprimer tD puis la distance OD. Exprimer les composantes vxD et vyD de la vitesse au point D, en déduire la norme de \vec{vD}.

7) Pour quel angle \alpha la distance OD, c'est-à-dire la portée, est-elle maximale ?

Merci d'avance pour chaque aide et pour votre patience.

Posté par
Prisere : Mouvement parabolique d'une balle 26-09-17 à 21:07

Bonsoir, c'est un exercice archi classique de Terminale S non ?  Peux-tu nous indiquer quelles questions tu as traité, et tes idées sur celles où tu as bloqué

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 27-09-17 à 18:42

Bonjour,

Pourtant on m'a donné cet exercice à faire et je suis en première année de licence physique-chimie.

J'ai trouvé quelques trucs mais je suis pas du tout sûre :

1) v0x = V0 * cos \alpha
v0y = V0 * sin \alpha

2) \begin{cases} & \text{ ax(t) } = g \\ & \text{ ay(t) } = O \end{cases}

Et après je sais pas comment continuer.

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 27-09-17 à 19:12

Hello

Citation :
\vec{a} = -g \vec{j}


Puis tu écris:

Citation :
\begin{cases} & \text{ ax(t) } = g \\ & \text{ ay(t) } = O \end{cases}


N'y a t il pas comme une erreur?

Une fois cette erreur corrigée:

l'accélération représente la variation de la vitesse donc  \vec{a} = \frac{d}{dt}\vec{v}

Pour trouver la vitesse, il faut donc intégrer la loi de l'accélération en prenant en considération les conditions initiales.

Puis même chose pour la position ...

@Prise: en espérant ne pas top avoir déformer ta pensée lorsque tu écris: " c'est un archi classique"  

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 30-09-17 à 21:53

Ah oui je vois :

\begin{cases} & \text{ ax(t) } = -g \\ & \text{ ay(t) } = 0 \end{cases}
ou plutôt : \begin{cases} & \text{ ax(t) } = 0 \\ & \text{ ay(t) } = -g \end{cases}   ?

\begin{cases} & \text{ vx(t) } = v0x \\ & \text{ vy(t) } = -g*t+v0y  \end{cases}

\begin{cases} & \text{ x(t) } = v0x*t+v0 \\ & \text{ y(t) } = 1/2g*t²+v0y*t+y0 \end{cases}

Est-ce bien cela ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 30-09-17 à 22:58



Il ne te reste plus qu'à exprimer v0x et v0y en fonction de v0 et de l'angle

Tu y es presque ...

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 01:12

\vec{v0}=vox \vec{i} + voy \vec{j}
\begin{Vmatrix} \vec{vo} \end{Vmatrix} =\sqrt{voy²+vox²}
vox=\begin{Vmatrix} \vec{vo} \end{Vmatrix}*cos \alpha
voy=\begin{Vmatrix} \vec{vo} \end{Vmatrix}*sin \alpha

C'est bien ça ? Si oui c'est juste pour la deuxième question ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 08:09

Presque

1) Il y a 2 coquilles dans l'expression de y(t):
- le terme constant est y0 et non pas v0
- tu as oublié le signe "-" dans le terme du second degré

2) la position initiale est 0  donc x0 = 0 et y0 = 0

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 15:11

Donc :

\begin{cases} & \text{ x(t) } = v0x*t+v0 \\ & \text{ y(t) } = -1/2g*t²+v0y*t+y0 \end{cases}

Mais je ne vois pas comment changer le terme constant ?

Pour la question 3, avec

x(t) = v0x*t+v0
y(t) = -1/2g*t²+v0y*t+y0

Je dois enlever le temps :

x = v0x+v0
y = -1/2g+v0y+y0

Et trouver y(x) avec y = -1/2g+v0y+y0, mais je ne vois pas comment.

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 15:35

Caramba encore raté ... (L'homme à l'oreille cassé )

\begin{cases} & \text{ x(t) } = v_{0,x}t+x_0 \\ & \text{ y(t) } = -1/2gt^2+v_{0,y}t+y_0 \end{cases}

Avec

A t = 0

\begin{cases} & \text{ x(t=0) } = x_0 = 0 \\ & \text{ y(t=0) } = y_0 = 0 \end{cases}

Et par ailleurs

\begin{cases} & v_{0,x} = v_0cos\alpha \\ & v_{0,y} = v_0sin\alpha\end{cases}

Donc en final le système d'équation s'écrit:

\begin{cases} & \text{ x(t) } = v_0\cos\alpha t \\ & \text{ y(t) } = -1/2gt^2+v_0sin\alpha t\end{cases}

De là première équation tu déduis t en fonction de x, tu peux alors remplacer t par cette fonction de x dans la deuxième. Tu obtiens alors l'équation cartésienne de la trajectoire qui est demandée  y = y(x)

A toi!

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 18:21

Désolée de te casser les oreilles Dirac

Donc avec ces équations :
\begin{cases} & \text{ x(t) } = v_0\cos\alpha t \\ & \text{ y(t) } = -1/2gt^2+v_0sin\alpha t\end{cases}

Je prend la première
\begin{cases} & \text{ x(t) } = v_0\cos\alpha t \end{cases}

J'en déduis t en fonction de x
\begin{cases} & \text{ x } = v_0\cos\alpha \end{cases}

Et je remplace t par cette fonction dans la deuxième
\begin{cases} & \text{ y } = -1/2g(v_0\cos\alpha)^2+v_0sin\alpha (v_0\cos\alpha) \end{cases}

Et après il faut réduire cette expression pour avoir y=y(x) ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 19:02

  Euh ...

Equation (1)     x = v_0cos\alpha t

Donc     t = \frac{x}{v_0cos\alpha}

Equation (2) y = -\frac{1}{2}gt^2+v_0sin\alpha t  

On remplace t

y = -\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0cos\alpha})^2+v_0sin\alpha (\frac{x}{v_0cos\alpha})  

A toi de poursuivre ...   (  tu pourras peut être utiliser 1/cos2 = 1 + tg2 )

Posté par
Prisere : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 19:14

x = v0*t*cosa donc t=x/(v0cosa) et alors y=-gx²/(2v0²cosa²)+x*sina/cosa

on appelle tangente la fonction tan:  a-> sina/cosa

sachant que sin²a+cos²a=1, on a : 1/cos²a = (sin²a+cos²a)/cos²a = tan²a +1

tu peux ainsi exprimer y en fonction de x en fonction de g, tana et v0 !

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 20:27

Merci pour vos réponses.

J'ai pas compris pourquoi on faisait intervenir la fonction tan et pourquoi, exprimer y en fonction de x en fonction de g, tan a et v0 ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 20:34

Euh ...

On veut surtout exprimer y en fonction de x (pour reconnaitre une parabole dont, entre autre, les coordonnées du sommet se calculent rapidement)

Et lorsque l'on exprime y en fonction de x, les paramètres v0, g et alpha apparaissant.

Je t'engage, une fois que tu l'auras terminé, à bien repasser cet exercice tant que les notions que nécessitent sa résolution ne te sont pas limpides.

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 01-10-17 à 21:05

Donc on exprime y en fonction de x pour trouver la fonction polynôme du second degré afin de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant cette fonction du second degré ? Et ça permettra de savoir si c'est en accord avec la trajectoire expérimentale ?

Donc :

y=(tan a)x-\frac{g}{2(v0cos a)^2}x^2 ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 06:16

Hello

Oui.

On exprime y en fonction de x pour:

- répondre à la question posée
- reconnaitre l'équation cartésienne d'une parabole
- confirmer que cela est en accord apparent avec la chronophotographie fournie
- éventuellement préciser les coordonnées du sommet

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 13:06

Bonjour,

Pour déterminer la vitesse \vec{vB} de la balle au point  B, il faut calculer la vitesse instantanée ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 13:34

Bien sûr

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 17:40

Alors j'ai trouvé ça avec O l'origine et B le point à la hauteur maximale atteinte par la balle.

\vec{v}=\lim_{\Delta t->0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \\ \Delta \vec{r}=\vec{r2}-\vec{r} \\ \vec{r}=\vec{OB(t)} \\ \vec{r2}=\vec{OB(t+\Delta t)} \\ \vec{\Delta r}=\vec{OB(t+\Delta t)}-\vec{OB(t)}=\vec{B(t)B(t+\Delta t)} \\ \vec{v}(B)=\lim_{\Delta t->0}\frac{B(t)B(t+\Delta t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t -> 0} \\ \frac{B(t)B(t+dt)}{dt} \\ \vec{v}(B)=\lim_{dt->0}\frac{\vec{OB(t+dt)}-\vec{OB(t)}}{dt} \\ \lim_{dt->0}(\vec{OB(t+dt)}-\vec{OB(t)}=d\vec{OB}=d\vec{r} \\ \vec{v}(B)=\frac{d\vec{OB}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 19:40

Euh ...

B est le sommet de la parabole (là où le projectile a fini et démonter et où il s'apprête à redescendre ...)

Donc en B:

v_{x,B} = v_0cos\alpha
v_{y,B} = 0

Posté par
Dragonfruitre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 20:26

Avec ces équations de position on trouve : vB=\sqrt{v²xB+v²yB}

Est-ce bien cela ?

Posté par
diracre : Mouvement parabolique d'une balle 02-10-17 à 22:33

oui mais comme vyB =0  il vient tt de suite vB =vxB =  v0cos


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