Niveau licence

Mouvement dans un champ électrique

Posté par
nico10310 24-09-17 à 18:09

Bonjour,

Je suis bloqué sur 2 questions d'un exercice :

- Quelle(s) relation(s) y-a-t-il entre une différence de potentiel électrique V(x) (aussi appelée tension électrique U), un champ électrique $\vec{E}$ et la force électrique $\vec{F_e}$ ?

- Donner l'expression de $\vec{E}=E\vec{e_x}$ en fonction de U=V(x) - V(x₀) (on utilisera $\vec{F_e}=-\frac{\delta V}{\delta x}\vec{e_x}$ (représente la dérivée partielle (je n'ai pas trouvé le "d rond"))

Merci pour votre aide !

Posté par re : Mouvement dans un champ électrique 24-09-17 à 18:22

Bonsoir
Que proposes-tu comme réponse ? Qu'est-ce qui te bloque exactement ?
Remarque : pour une aide efficace, un énoncé complet est préférable.
Es-tu bien sûr de ne pas commettre de confusion dans la dernière formule que tu écris :

$\vec{F_{e}}=-\frac{\partial V}{\partial x}\vec{e_{x}}$
???

Posté par re : Mouvement dans un champ électrique 24-09-17 à 18:43

Dans les 2 premières questions, il me demande de donner l'expression de la force de Coulomb et la relation entre la force de Coulomb et le champ électrique qui est $\vec{F_e}=q\vec{E}$

Oui c'est bien la formule que je voulais écrire (je ne trouvais pas le bon caractère)

Je sais que $\vec{F_e}=q\vec{E}$ et que $E= \frac{\left|U \right|}{d}$
Peut-on les lier ?

La suite de l'énoncé est :
Soit un électron de charge -e traversant une zone de longueur d (dans la direction $\vec{e_x}$ ) où règne un champ électrique $\vec{E}$ induit par une différence de potentiel (tension entre 2 grilles) U = V(x=d) - V(x=0)

- Rappeler le théorème de l'énergie mécanique appliqué à une force conservative
- Ecrire l'énergie méca. de l'électron en x=0 puis en x=d. En déduire la relation qui lie la vitesse de l'électron à la sortie de la zone de champ électrique $\vec{v}(d)$ (en x=d) au potentiel U.

(C'est une préparation de TP sur le canon à électrons)

Merci

Posté par re : Mouvement dans un champ électrique 24-09-17 à 19:11

OK pour la relation entre force et vecteur champ. Comment relier cela à la différence de potentiel entre les plaques ?

A priori, il faut supposer : $\overrightarrow{E}=E.\overrightarrow{e_{x}}$ avec E = constante. Je ne sais pas si tu connais la notion de gradient ; on peut s'en passer dans ce cas simple car ici, on peut poser :

$\vec{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}\vec{e_{x}}\quad soit\quad E=-\frac{\partial V}{\partial x}$

En intégrant :

$V=-E.x+constante$

On envisage les deux cas particuliers : x=0 et x = d :

$\begin{cases} \\ V_{(x=0)}=constante\\ \\ V_{(x=d)}=-E.d+constante \\ \end{cases}$

Par soustraction « membre à membre » :

$\\ V_{(x=d)}-V_{(x=0)}=E.d=U \\$
Le voilà le lien que tu cherchais !

Le travail élémentaire de la force électrique s'écrit :

$\delta W=\overrightarrow{F_{e}}\cdot dx.\overrightarrow{e_{x}}=q.E.dx=-q\frac{\partial V}{\partial x}\cdot dx$

La force électrique étant conservative, son travail élémentaire est l'opposé de la variation élémentaire d'énergie potentielle :

$\delta W=-dE_{p}\quad donc\quad dE_{p}=q\frac{\partial V}{\partial x}\cdot dx$

Par intégration :

$E_{p}=q.V+constante$

On peut choisir la constante arbitrairement nulle puisque seules les variations d'énergies potentielles ont un sens physique. Je te laisse continuer...

Posté par re : Mouvement dans un champ électrique 25-09-17 à 16:34

Merci, mais je ne comprends pas.
Je cherche quelle(s) relation(s) y-a-t-il entre une différence de potentiel électrique V(x) (aussi appelée tension électrique U), un champ électrique $\vec{E}$ et la force électrique $\vec{F_e}$

Je ne le vois pas dans votre relation :
$\\ V_{(x=d)}-V_{(x=0)}=E.d=U \\$
Je suis perdu.

Sinon pour la suite :
- Rappeler le théorème de l'énergie mécanique appliqué à une force conservative :
comme c'est conservatif : $\Delta E_m=0$

- Ecrire l'énergie méca. de l'électron en x=0 puis en x=d. En déduire la relation qui lie la vitesse de l'électron à la sortie de la zone de champ électrique $\vec{v}(d)$ (en x=d) au potentiel U.
Donc en x=0 : $E_{m_0}=E_c+E_p=E_p=-qEd$
En x=d : $E_{m_d}=E_c+E_p=E_c=\frac{1}{2}mv_d^2$
Or l'énergie mécanique se conserve donc $\frac{1}{2}mv_d^2=-qEd \Rightarrow v=\sqrt{\frac{-qEd}{\frac{1}{2}m}}$

Est-ce correct ?
Merci

Posté par re : Mouvement dans un champ électrique 25-09-17 à 23:16

Pas facile de t'aider, surtout avec un énoncé manifestement faux : la formule que tu fournis dans ton premier message : $\vec{F_{e}}=-\frac{\partial V}{\partial x}\vec{e_{x}}$ est totalement fausse !
En revanche, j'ai commis une étourderie de calcul : la soustraction membre à membre dont je parle conduis à :
$\\ V_{(x=d)}-V_{(x=0)}=- E.d=U$
J'ai oublié le signe "-". Selon l'énoncé : U>0.
On peut justifier cela physiquement. Il s'agit d'accélérer un électron de charge q=-e<0 dans le sens positif. Le vecteur force doit être orienté dans le sens positif, le vecteur champ électrique doit être orienté dans le sens négatif : E<0. Cela donne donc une expression de la force :

$\vec{F_{e}}=q\vec{E}=q.E.\overrightarrow{e_{x}}=-q\frac{U}{d}\overrightarrow{e_{x}}=e\frac{U}{d}\cdot\overrightarrow{e_{x}}$
Pour obtenir la vitesse en x = d, il est possible d'utiliser le théorème de l'énergie cinétique mais l'énoncé demande de raisonner sur l'énergie mécanique qui est la même en x = 0 et en x = d. Je t'ai démontré précédemment l'expression générale de l'énergie potentielle électrique, sachant qu'ici, la variation d'énergie potentielle de pesanteur est soit nulle (positions initiale et finale dans le même plan horizontal), soit négligeable.
En x = 0 :

$Ec_{(x=0)}=0\quad;\quad Ep_{(x=0)}=q.V_{(x=0)}=0\quad;\quad Em_{(x=0)}=0$
En x = d :

$Ec_{(x=d)}=\frac{1}{2}m.v_{d}^{2}\quad;\quad Ep_{(x=d)}=q.V_{(x=d)}=q.U=-e.U\quad;\quad Em_{(x=d)}=\frac{1}{2}m.v_{d}^{2}-e.U$

$Em_{(x=0)}=Em_{(x=d)}\quad donc\quad\frac{1}{2}m.v_{d}^{2}-e.U=0$

$v_{d}=\sqrt{\frac{2e.U}{m}}$