Niveau licence

Mouvement Cycloïdal

Posté par
Rimi 27-12-16 à 13:42

Bonjour, j'ai besoin de votre aide svp pour résoudre cet exercice; [u][/u]énoncé : une roue circulaire de centre c, et de rayon R,roule sans glisser sur l'axe OX' tout en restant dans le plan (O,X,Z),un point A de la roue coïncide à l'instant t=0 avec l'origine O avec (Vc=cte) , déterminer les coordonnées de point A à l'instant t??? [rouge][/rouge]

Posté par re : Mouvement Cycloïdal 27-12-16 à 15:18

Rimi @ 27-12-2016 à 13:42

Bonjour, j'ai besoin de votre aide svp pour résoudre cet exercice; [u][/u]énoncé : une roue circulaire de centre c, et de rayon R,roule sans glisser sur l'axe OX' tout en restant dans le plan (O,X,Z),un point A de la roue coïncide à l'instant t=0 avec l'origine O avec (Vc=cte) , déterminer les coordonnées de point A à l'instant t??? [rouge][/rouge]

Posté par re : Mouvement Cycloïdal 27-12-16 à 15:29

Bonjour
Commence par faire un schéma et note , par exemple, , l'angle de rotation de la roue à partir de l'instant initial.
Les coordonnées cartésiennes de A s'expriment alors simplement en fonction de x_C, R et . Le fait que la roue roule sans glisser va te fournir une relation simple entre x_C et . La suite est facile.
Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer une solution. Si tu n'y arrives pas, redemande de l'aide...

Posté par re : Mouvement Cycloïdal 27-12-16 à 15:53

Merci beaucoup Vanoise, j'ai trouvé X=R(ø-sinø)
Y=R(1-cosø)
Ce sont des equations connus du mouvement Cycloïdal mais comment peut-on les tirer d'après le schéma je sais pas ?

Posté par re : Mouvement Cycloïdal 27-12-16 à 19:22

À la date t = 0, le centre C est en O, le point A est en Ao. À la date t quelconque, les coordonnées du centre C sont :

$x_{C}=V.t\quad;\quad z_{C}=0$
Les coordonnées du point A à la date t quelconque sont :

$x=x_{C}-R.\sin\left(\theta\right)\quad;\quad z=-R.\cos\left(\theta\right)$
Condition de roulement sans glissement. Plusieurs méthodes sont possibles. La plus directe consiste à remarquer que la distance OC = V.t est aussi égale à la longueur de l'arc IA :

$R.\theta=V.t$
On peut aussi écrire que la vitesse du point I de contact avec le plan horizontal est le vecteur nul. Cela conduit à :

$V=R.\frac{d\theta}{dt}$
Par intégration puisque V est une constante : $V.t=R.\theta+constante$ . Puisque $\theta=0$ pour t = 0, la constante d'intégration est nulle. On obtient bien le même résultat. Au final :

$\boxed{x=V.t-R.\sin\left(\frac{V.t}{R}\right)\quad;\quad z=-R.\cos\left(\frac{V.t}{R}\right)}$
Voici la trajectoire obtenue après deux tours effectués pour R = 1m.

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