Niveau école ingénieur

Mouvement Curviligne

Posté par
CloudNine 08-01-17 à 20:54

Bonsoir,
Je voudrais savoir si ma rédaction et ce que j'ai fait est bonne ou pas. Et aussi m'aider pour les deux dernières questions.

1. Montrer que dans un mouvement curviligne quelconque, on a
$a_{t} = \frac{\vec{a}.\vec{v}}{v}$
$a_{n} = \parallel \frac{\vec{a}.\vec{v}}{v} \parallel$
On se place dans la base de frenet, $\vec{a}.\frac{\vec{u}}{\parallel u\parallel }$
$= \frac{\vec{a}.\vec{u}.\vec{v}}{\parallel v \parallel } = \frac{\vec{a}.\vec{\parallel u\parallel }.\vec{v}}{\parallel v \parallel } = \frac{\vec{a}.\vec{v}}{ v }$
Or $\vec{a}.\vec{v} = \dot{x}\dot{x} + \dot{y}\dot{y}+ \dot{z}\dot{z}$
Donc $a_{t} = \frac{\dot{x}\dot{x}+\dot{y}\dot{y}+\dot{z}\dot{z} }{\sqrt{\dot{x}+\dot{y}+\dot{z}}}$

2. Déterminer l'expression de $a_{t}$ pour un mobile de coordonnées x(t), y(t), z(t)

3.Même question pour $a_{n}$

A partir de la question 2 et 3 je suis bloqué.
Merci d'avance pour vos aides,

Posté par re : Mouvement Curviligne 09-01-17 à 10:51

Hello

Il me semble que tu réponds en fait à 2/ en voulant répondre à 1/

$\vec{v} = \frac{ds}{dt}\vec{e}_T = v.\vec{e}_T$

Donc

$\vec{a} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_T + v\frac{d\vec{e}_T}{dt} =\frac{dv}{dt}\vec{e}_T + \frac{v^2}{\rho}\vec{e}_N$ ,  où   est le rayon de courbure

(si tu n'es pas près à admettre cette dernière égalité, fais signe, on la démontrera)

Donc l'expression demandée de  a_T est immédiate

Il y a ensuite un problème avec l'expression de l'accélération normale que l'on te demande d'établir car $\vec{v}$ et $\vec{T}$ sont colinéaires donc ...   $\vec{v}$ et $\vec{N}$ sont normaux

Par contre si tu calcules   $\vec{v} \wedge \vec{a}$ , tu arrives rapidement à l'expression demandée.

Pour répondre à 2/ et 3/ il n'y a plus alors qu'à exprimer vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes et calculer les expressions établies en 1/