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Montrer qu'une trajectoire est plane
Bonjour,
je cherche à montrer qu'une trajectoire est plane en ayant sa définition.
) = (3t² + 2t)
+ (t3 + 3t)
+ t²
Merci d'avance pour vos réponses.
Le point O appartient clairement à la trajectoire (il suffit de prendre ).
Tu peux essayer de montrer qu'il existe un vecteur constant et non nul tel que
, quel que soit
.
x(t) = 3t² + 2t
y(t) = t³ + 3t
z(t) = t²
Recherche de 3 points quelconques mais non alignés de la trajectoire.
(0 ; 0 ; 0)
(5 ; 4 ; 1)
(1 ; -4 ; 1)
Equation du plan passant par ces 3 points :
x + Ay + Bz + C = 0
C = 0
5 + 4A + B = 0
1 - 4A + B = 0
A = -1/2, B = -3
Donc si la trajectoire est plane, l'équation du plan dans laquelle elle se trouve est :
x - 1/2 y - 3z = 0
Soit : 2x - y - 6z = 0
Il suffit maintenant de vérifier si les coordonnées de la trajectoire vérifie l'équation du plan (quel que soit t).
2(3t² + 2t) - (t³ + 3t) - 6t² =? 0
-t³ + t = 0
Ce n'est évidemment pas vrai quel que soit t et donc la trajectoire n'est pas plane.
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Sauf distraction. 
est-ce-que je peux chercher un vecteur
Oui, si la trajectoire est plane, la variation de position
Maintenant je veux montrer que
= 2t²
-t²
+ t
J'ai essayé la méthode de JP avec trois points choisis au hasard:
(0;0;0)
(2;-1;1)
(8-4;2)
Mais en cherchant l'équation du plan passant par ces 3 points, je trouve
C=0
2-A+B=0
8-4A+2B=0
impossible à résoudre.
____
En utilisant la méthode = O
je trouve un vecteur (1;2;0)
Est-ce correct?
Oui c'est correct. Le vecteur que tu as trouvé est normal à quelle que soit la valeur de
.
On pouvait tout aussi simplement constater que l'on a:
Le vecteur position s'écrit donc toujours comme la combinaison de deux vecteurs ( d'une part et
d'autre part). L'origine
étant incluse dans la trajectoire, cela revient à dire que cette dernière est plane.
Loicz,
En quoi le système que tu trouves dans ta réponse du 28-12-09 à 01:05 est-il impossible à résoudre ?
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2 ème exercice:
M (2t² ; -t² ; t)
3 points non alignés quelconques de la trajectoire:
(0 ; 0 ; 0 )
(2 ; -1 ; 1)
(8 ; -4 ; 2)
Equation du plan passant par ces 3 points :
x + Ay + Bz + C = 0
C = 0
2 - A + B = 0
8 - 4A + 2B = 0
Qui résolu donne : A = 2 ; B = 0 et C = 0
Donc si la trajectoire est plane, l'équation du plan dans laquelle elle se trouve est :
x + 2y = 0
Vérifions si l'équation de ce plan est bien vérifiés pour toutes les position de M :
x + 2y = 0
avec M (2t² ; -t² ; t)
--> 2t² + 2*(-t²) =? 0
C'est OK pour toutes valeurs de t et donc :
La trajectoire est plane et l'équation du plan contenant la trajectoire est : x + 2y = 0
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Sauf distraction.
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