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Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son centre

Posté par
God 19-05-13 à 15:50

Bonjour,
Je cherche à déterminer le moment d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un axe D passant par son centre
je note la masse volumique de la sphère homogène , et M sa masse.
La distance entre un point de la sphère et l'axe est $\sqrt{\rho^2-Z^2}$ , où Z est la hauteur de la sphère
J'ai donc, en coordonnées cylindriques :
Le volume élémentaire : d*d*dz
donc :
$I=\sigma\int_0^{2\pi}\int_{-R}^{R}\int_{0}^{R} (\sqrt(\rho^2-Z^2))^2 d\rho dz \rho d\theta \\ =\sigma\int_0^{2\pi}\int_{-R}^{R}\int_{0}^{R} (\rho^3-\rho*Z^2) d\rho dz d\theta \\ =\sigma2\pi*\int_{-R}^{R} \frac{R^4}{4}-\frac{R^2*Z^2}{2} dz \\ =\frac{1}{4}MR^2$

donc ça marche pas puisque je devrais trouver deux cinquièmes de MR².

je sais que c'est plus simple de passer par les coordonnées sphériques, mais j'aimerais comprendre mon erreur
merci

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 16:06

Bonjour,

Le fait que tu arrives à 1/2MR² (tu as oublié un fois 2 à la fin ...) qui est le moment d'inertie d'un cylindre devrait t'interpeler!

=> le rayon d'un disque élémentaire d'altitude z dépend de z et ne vaut pas R comme tu l'exprime dans tes bormes pour d que tu fait varier de O à R...

Etablis cette relation et retranscris la dans tes intégrales, ça devrait aller mieux .. où pas! Mais on est là ... enfin il y a toujours qlqun ...

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 16:42

Ah oui en effet, merci, l'intégrale devrait aller en fait de 0 à $\sqrt(R^2-Z^2)$

$I=\sigma*2\pi*\int_{-R}^{R} \frac{(R^2-Z^2)²}{4}-\frac{R^2-Z^2}{2}dz \\ \\ =\frac{\sigma*\pi}{2}*\int_{-R}^{R} R^4+Z^4-2R^2Z^2-2R^2+2Z^2dz \\ \\ =\frac{\sigma*\pi}{2}*[R^4Z+\frac{Z^5}{5}-\frac{2R^2Z^3}{3}-2R^2Z+\frac{2Z^3}{3}]_{-R}^R \\ \\ =\frac{3m}{4*\pi*R^3}*(2R^5+\frac{2R^5}{5}-\frac{4R^5}{3}-4R^3+\frac{4R^3}{3}) \\ \\ =\frac{3m}{4*\pi*R^3}*(\frac{16R^5}{5}-\frac{8R^3}{3})$

OK non, ça marche pas.

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 16:46

J'ai oublié un facteur pi/2 devant, mais ça règle pas le problème

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 17:40

Si je peux me permettre de m'adresser ainsi à God ... tu fais une erreur, lors de la sommation entre 0 et $\sqrt{R^2 - z^2}$

Jettes y encore un œil... je compte jusqu'à 100... (tu dois intégrer un ²..d, soit un ³.d)

Et tu verras, ça ira mieux ...

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 19:23

J'ai vu un erreur oui, c'est Z²(R²-Z²) et pas juste R²-Z² mais à la fin ça marche pas j'obtiens 9/4mr²

pourquoi $\rho$ ?
$\rho$ c'est par rapport à O
je cherche le moment par rapport à l'axe, donc la distance ne devrait pas être $\rho$ mais $\sqrt(\rho²-Z²)$
parce qu'on est d'accord, la distance entre l'axe et un point de la sphère c'est $\sqrt(\rho²-Z²)$ ?

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 19:37

Euh je trouve 1/5 de mr² pardon, donc on se rapproche, mais il manque un facteur 2...

Posté par re : Moment d'inertie sphère par rapport à axe passant par son c 19-05-13 à 19:54

Au 7ème jour, God se reposa ... ça explique peut-être ...

Citation :
pourquoi \rho ?

Euh parce que c'est toi qui l'a utilisé le premier

est le rayon d'un anneau élémentaire de rayon d

contenu dans un plan de la sphère, perpendiculaire à Oz. Et d'ailleurs maintenant on va l'appeler r!

Alors on y va. Ecrit vulgairement:

$I = \sigma\int_{Boule} distance^2(dV,Oz).dV$

Donc en coordonnées cylindriques:

\\ z varie de -R à R \\ Et pour une coordonnée z sur l'axe Oz, r varie de 0 à [tex]\sqrt{R^2-z^2}" alt="I = \sigma\int_{Boule} r^2.rd\thetadrdz/tex] \\ \\ \theta varie de 0 à 2

\\ z varie de -R à R \\ Et pour une coordonnée z sur l'axe Oz, r varie de 0 à [tex]\sqrt{R^2-z^2}" class="tex" />

Donc

$I = \sigma\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\int_{-R}^{R} r^2.rd\theta drdz$

$I = 2\pi\sigma\int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\int_{-R}^{R} r^3drdz$

$I = 2\pi\sigma \int_{-R}^{R}\frac{1}{4}(R^2 - z^2)^2dz$

$I = \frac{\pi\sigma}{2}[R^4z -\frac{2}{3}R^2z^3 + \frac{1}{5}z^5]_{-R}^{+R}$

$I = {\pi\sigma}R^5\frac{8}{15}$

En combinant avec $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \sigma$

on doit obtenir le résultat

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