Niveau maths sup

Moment cinétique et vitesse angulaire

Posté par
Froware 12-03-18 à 21:44

Bonjour,

Je bloque sur un exercice de physique dont voici l'énoncé :

Le point matériel M de masse m se déplace sans frottements sur un plan horizontal. Il est attaché à unfil inextensible, sans masse et de longueur l. Le fil passe à travers un trou pratiqué dans le plan horizontal en O. L'autre extrémité du fil est déplacée à la vitesse v = -v(o selon uz) l'axe oz étant l'axe vertical ascendant.

1) Faire un schéma du dispositif.

2) Que peut-on dire de la réaction du plan horizontale sur la masse M?

3) Donner une relation entre la côte z de l'extrémité du fil et la distance p=OMo. En déduire une relation entre les dérivées premières de z et p.

4)Déterminer le moment cinétique de la masse M et montrer qu'il est constant.

5) Sachant que la masse est lancée avec une vitesse angulaire Wo à partir de la distance d du point 0, déterminer p(t) et w(t).

Voici mes réponses :

1) Voir image jointe.

2) Comme il n'y a pas de frottement, la réaction du plan compense la masse de M.

3) C'est ici que je bloque, je ne vois pas trop comment établir un lien entre z et p autre que géométrique ( l=p+z donc z=l-p....), et cela donnerait des distances et donc des dérivées nulles...

4) Lo=OM^mv = $\begin{pmatrix} p\\ 0 \end{pmatrix}$ ^ $\begin{pmatrix} 0\\ -v \end{pmatrix}$ .... Est-ce un bon début ?

5) Une piste s'il-vous-plaît ?

Merci par avance pour toute aide apportée,

Moment cinétique et vitesse angulaire

Posté par re : Moment cinétique et vitesse angulaire 12-03-18 à 23:19

Bonsoir
1° OK pour la représentation du dispositif dans un plan vertical. Une vue de dessus serait bien utile aussi pour bien mettre en évidence les coordonnées polaires $\left(\rho,\theta\right)$ de M. Avec les vecteurs unitaires usuels dans ce cas :

$\overrightarrow{OM}=\rho.\overrightarrow{e_{\rho}}\quad;\quad\overrightarrow{v_{(M)}}=\dot{\rho}.\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{\theta}}$
2° : l'idée générale est bonne mais attention : la réaction du plan horizontal compense le poids, pas la masse !

3° : Si on note h la longueur de la partie verticale du fil, on a selon l'énoncé :

$h=h_{0}+V_{0}.t$

La cote z de l'extrémité inférieure du fil est z = -h.
La longueur totale de la corde est fixe :

$l=h+\rho=\rho-z=h_{0}+V_{0}.t+\rho$

On dérive par rapport au temps en considérant Vo = constante :

$0=\dot{\rho}-\dot{z}=V_{0}+\dot{\rho}\quad;\quad\dot{\rho}=-V_{0}$

La partie horizontale du fil va donc se raccourcir à vitesse Vo constante. Puisque la vitesse angulaire initiale n'est pas nulle, M va décrire une spirale.

4° : Le moment cinétique en O de M s'écrit :

$\overrightarrow{L_{O}}=\overrightarrow{OM}\wedge\left(m.\overrightarrow{v_{(M)}}\right)=m.\rho.\overrightarrow{e_{\rho}}\wedge\left(\dot{\rho}.\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{\theta}}\right)$
Je te laisse finir le calcul...
5° : une indication : puisque, comme tu l'as dit, le poids de M est compensé par la réaction du plan, on peut considérer M comme soumis à la seule tension du fil qui peut s'écrire :

$\overrightarrow{T}=-T.\overrightarrow{e_{\rho}}$
où T désigne la norme du vecteur $\overrightarrow{T}$ .
Le moment en O de cette force est le vecteur nul donc le moment cinétique... Je te laisse réfléchir à tout cela. Tu devrais maintenant t'en sortir seul...

Posté par re : Moment cinétique et vitesse angulaire 13-03-18 à 02:26

Remarque complémentaire : l'énoncé, tel que tu l'as recopié, ne précise pas explicitement que la vitesse Vo est une constante... La notation Vo qui apparaît sur ton schéma ainsi que l'absence de tout autre renseignement sur cette vitesse le laissent supposer...
Même sans cette simplification, on obtient :
$\\ 0=\dot{\rho}-\dot{z}=V_{0}+\dot{\rho}\quad;\quad\dot{\rho}=-V_{0}$
mais la suite serait beaucoup plus compliquée.
Il existe une version plus difficile de cet exercice où justement cette vitesse n'est pas fixe, une masse étant accrochée à l'extrémité du brin vertical de fil : Mécanique 5
Je ne pense pas qu'il s'agisse de cela ici...

Posté par re : Moment cinétique et vitesse angulaire 13-03-18 à 11:56

Merci beaucoup ! Avec toutes ces précisions j'ai réussi à finir l'exercice;
Je n'avais pas pensé aux coordonnées polaires, mes difficultés venaient de là;
Etant donné l'absence de précision de l'énoncé j'ai aussi supposé que la vitesse est constante.

Bonne journée,

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