Niveau maths spé

Moment cinétique et dérivée partielles

Posté par
shurikn 04-12-18 à 19:26

Bonsoir je bloque sur un sujet de concours centrale PSI 2013:

Voici un extrait du sujet:

En réalité, à cause de l'élasticité du matériau constituant une corde, il faut prendre en compte sa raideur. Cela est particulièrement vrai pour les cordes de grand diamètre3. Il nous faut donc raﬃner le modèle adopté jusqu'à présent. On considère toujours que les mouvements de la corde sont transversaux, et contenus dans le plan vertical xOy. La théorie de l'élasticité montre que la tension ~ T(x,t) n'est plus tangente à la corde et que pour permettre la courbure de la corde, il faut prendre en compte un couple de moment ~Γ = ±Γ(x,t) ~uz dont l'expression est donnée par $\Gamma \left(x,t \right) = \frac{\pi r^{4}}{4}E \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$
où r désigne le rayon de la corde. E, appelé «module d'Young», traduit les propriétés d'élasticité du matériau constituant la corde et s'exprime en Pascal. On considère ici une corde en acier de masse volumique ρ(acier)= 7,8×103kg·m−3 et de module d'Young E =190GPa.

..Les questions associées:

a) Vériﬁer l'homogénéité de la relation donnant Γ(x,t).
b) En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la portion {x,x +dx}, montrer que Tx ne dépend que du temps. On supposera que Tx est en réalité une constante notée T0. Établir également une équation aux dérivées partielles liant y(x,t) et Ty(x,t). c) En appliquant le théorème du moment cinétique barycentrique à la portion{x,x+dx}, établir une nouvelle équation aux dérivées partielles liant y(x,t), Ty(x,t) et Γ(x,t). À cette ﬁn, on négligera en justiﬁant cette approximation le moment d'inertie de la portion {x,x+dx} par rapport à l'axe Gz.
d) En déduire l'équation aux dérivées partielles régissant les mouvements de la corde

J'ai réussi les question a et b mais je bloque sur la c. J'ai utilisé le moment cinétique mais impossible d'exprimer T..

Si vous avez des éléments de réponse je suis preneur

Posté par re : Moment cinétique et dérivée partielles 05-12-18 à 12:02

Bonjour

La relation fondamentale de la dynamique appliquée au tronçon élémentaire de corde, une fois projetée suivant l'axe (O,y) conduit simplement à :

$\mu.\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial T_{y}}{\partial x}$

Sachant que le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire passant par son milieu vaut, pour une tige rectiligne de masse m, de longueur l :

$\frac{m.l^{2}}{12}$

Le moment dynamique en G, milieu du tronçon élémentaire, vaut, en projection sur (Oz) :

$\mu.dx.\frac{\left(dx\right)^{2}}{12}.\ddot{\theta}$

si $\theta$ désigne l'inclinaison du tronçon par rapport à l'axe (O,x) : $\tan\left(\theta\right)=\frac{\partial y}{\partial x}\approx\theta$

La somme des moments par rapport à l'axe (G,z) des actions exercées par la partie gauche et par la partie droite de la corde sur le tronçon est une somme de trois termes :

1° : la force $-T_{o}.\overrightarrow{u_{x}}$ exercée par la partie gauche et la force $T_{o}.\overrightarrow{u_{x}}$ constituent un couple de force dans la mesure où la distance entre les deux lignes d'action est :

$dy=\tan\left(\theta\right).dx=\frac{\partial y}{\partial x}.dx$

Ce couple tend à faire tourner le tronçon dans le sens négatif de façon à rendre le tronçon colinéaire à (O,x). Le moment du couple est négatif :

$\\ -T_{o}.\frac{\partial y}{\partial x}.dx \\$
2° : la force verticale T $_{y}.\overrightarrow{u_{y}}$ exercée par la partie droite et la force $-T_{y}.\overrightarrow{u_{y}}$ constitue un autre couple qui lui, tend à faire tourner le tronçon dans le sens positif. La distance entre les deux lignes d'action de ces forces est : $dx.\cos\left(\theta\right)\approx dx$ . Le moment correspondant est :

$T_{y}.dx$

Remarque : tenir compte de la variation de Ty entre x et (x+dx) introduirait un infiniment petit du deuxième ordre que l'on néglige ici.

3° : le couple de torsion exercé par par partie droite de la corde $\varGamma_{(x+dx)}$ et le couple de torsion exercée par la partie gauche de la corde : $-\varGamma_{(x)}$ . La somme vaut :
$\\ \frac{\partial\Gamma}{\partial x}.dx$

On constate que tous ces moments sont des infiniment petits du premier ordre (termes en dx) alors que le moment dynamique fait intervenir un infiniment petit du troisième ordre (terme en $dx^{3}$ ).Comme suggéré par l'énoncé, on peut donc considérer la somme des trois moments nulle à chaque instant. Cela permet d'obtenir Ty en fonction de $T_{o}.\frac{\partial y}{\partial x}$ et de $\frac{\partial\Gamma}{\partial x}$ . Il suffit alors de dériver par rapport à x et d'injecter l'expression obtenue dans la première relation. Cela donne l'équation différentielle de propagation :

$\mu.\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}-T_{o}.\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}+E.\frac{\pi r^{4}}{4}.\frac{\partial^{4}y}{\partial x^{4}}=0$