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Moment cinétique

Posté par
Autobus 21-04-15 à 17:32

Hello

On considère un pendule simple, constitué d'une masse ponctuelle m située en M, à une extrémité d'une tige mince rectiligne de longueur L et de masse négligeable. L'autre extrémité de la tige est accrochée à un point fixe O, autour duquel elle peut pivoter librement. La tige est écartée d'un angle $\theta_0$ de la verticale. La masse m est alors lâchée sans vitesse initiale depuis un point $M_0$ . On note (t) l'angle entre la tige et la verticale à un instant t quelconque. On fera une figure explicitant les différentes grandeurs introduites dans les divers calculs.

1. Calculer le moment d'inertie $I_O$ de la masse m par rapport au point O.
2. Calculer le moment cinétique $\vec{J_O}(t)$ de la masse m par rapport à O en fonction de $I_O$ et de la vitesse angulaire $\vec{\omega}(t)$ .
3. Faire le bilan des forces s'appliquant sur la masse m.
4. A l'aide du théorème du moment cinétique, retrouver l'équation différentielle en régissant le mouvement de la masse m.

Voici ce que j'ai fait :
1. $I_O=mL^2$
2. $\vec{OM}\wedge m\vec{v}=L\vec{u_r}\wedge (mL\dot{\theta})\vec{u_{\theta}}=(mL^2\dot{\theta}) \vec{u_z}=I_O \dot{\theta} \vec{u_z}$

Et là je commence à bloquer...
3. Les deux forces qui interviennent sur la masse sont son poids P et la tension T de la tige.
J'ai fait $\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a}=m(-L\dot{\theta}\vec{u_r}+L\ddot{\theta} \vec{u_{\theta}})$

4. Le théorème de l'énergie cinétique donne :
$\dfrac{d\vec{J_O}}{dt}=I_O\ddot{\theta}\vec{u_z}=L\vec{u_r}\wedge \vec{T}+L\vec{u_r}\wedge \vec{P}$ (somme des moments de chacune des forces)

Si on projette sur les axes r et :
Le moment de la force T : $L\vec{u_r} \wedge -T\vec{u_r} = \vec{0}$
Le moment de la force P : $L\vec{u_r} \wedge -cosP\vec{u_{\theta}}$

Or on a sur $\vec{u_r}$ : $sinP-T=-L\dot{\theta}m$
Sur $\vec{u_{\theta}}$ : $-cosP=L\ddot{\theta}m$

Donc le théorème du moment cinétique donne :
$L\vec{u_r} \wedge -cosP\vec{u_{\theta}}=L\vec{u_r} \wedge L\ddot{\theta}m\vec{u_{\theta}}=I_O \ddot{\theta}\vec{u_z}$ .

Franchement je ne vois pas comment écrire l'équation différentielle du mouvement.
Avez-vous une idée ?

Merci

Posté par re : Moment cinétique 21-04-15 à 19:43

bonsoir,

tout cela m'a l'air bien compliqué pour un malheureux pendule simple!

on a: dJ_o/dt = M_/o = M(P) _/o = -mgL sin O u_z (puisque le moment de T par rapport à O est nul)

donc en projection sur (Oz) on trouve l'équa. diff. cherchée
(vecteurs en gras)

Posté par re : Moment cinétique 21-04-15 à 19:47

Bonjour,

3) La RFD n'est pas demandée, il suffit juste d'écrire $\vec{T}=-T\vec{u_r}$ (avec $T\geqslant0$ ) et $\vec{P}=mg(\cos\theta\vec{u_r}-\sin\theta\vec{u_\theta})$ .

D'ailleurs il y a une erreur dans ta RFD : le terme en $\vec{u_r}$ n'est pas $-mL\dot{\theta}$ mais $-mL\ddot{\theta}$ .

4) "sinP" et "cosP" ne veulent rien dire. $\vec{\mathcal{M}_O}(\vec{T})=\vec{0}$ c'est bon. D'autre part,

$\vec{\mathcal{M}_O}(\vec{P})=L\vec{u_r}\wedge mg(\cos\theta\vec{u_r}-\cos\theta\vec{u_\theta})=-mgL\sin\theta\vec{u_z}$ ,

à égaliser avec $I_O\ddot{\theta}\vec{u_z}$ pour obtenir l'ED.

Posté par re : Moment cinétique 21-04-15 à 23:12

Plusieurs erreurs se sont effectivement glissées sur mon poste...

Effectivement je voulais écrire cosP=Pcos et sinP=Psin...
Pour l'accélération, je voulais écrire en $u_r$ : $-L\dot{\theta}^2$

Par contre pour la projection de P, je me goure toujours ! J'avais trouvé en $u_{\theta}$ -Pcos et non -Psin...

Je vous remercie, du coup j'ai bien compris !

Donc je reprends la question 4 :
$\dfrac{d\vec{J_O}}{dt}=L\vec{u_r} \wedge m(-L\dot{\theta}^2\vec{u_r}+L\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}) =L\vec{u_r} \wedge mL\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}} =mL^2\ddot{\theta}\vec{u_z}=I_O\ddot{\theta}\vec{u_z}$ d'une part.

Et comme la dérivée du moment cinétique est égale à la somme des moments de chacune des forces :
$\dfrac{d\vec{J_O}}{dt}=\vec{0}-mgLsin(\theta)\vec{u_z}$

Donc $mL^2\ddot{\theta}\vec{u_z}=-mgLsin(\theta)\vec{u_z}$

et $\ddot{\theta}=\dfrac{-mgLsin(\theta)}{mL^2}=\dfrac{-gsin(\theta)}{L}$ ce qui implique :
$\ddot{\theta}+\dfrac{g}{L}sin(\theta)=0$

Je me suis relue, mais j'ai peut-être encore fait quelques erreurs car j'ai du mal à maîtriser le LaTeX

C'est juste ?

Merci encore !

Posté par re : Moment cinétique 22-04-15 à 16:40

Oui je voulais écrire $-mL\dot{\theta}^2$ au lieu de $-mL\ddot{\theta}$ , bref.

Tout ce que tu as écrit est correct, il y a juste un moment que je trouve un peu étrange :

Citation :

Donc je reprends la question 4 :
$\dfrac{d\vec{J_O}}{dt}=L\vec{u_r} \wedge m(-L\dot{\theta}^2\vec{u_r}+L\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}) =L\vec{u_r} \wedge mL\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}} =mL^2\ddot{\theta}\vec{u_z}=I_O\ddot{\theta}\vec{u_z}$ d'une part.

Pourquoi tout ce calcul ? Tu sais déjà que $\vec{J_O}=I_O\dot{\theta}\vec{u_z}$ donc on a directement $\dot{\vec{J_O}}=I_O\ddot{\theta}\vec{u_z}$ .

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