Niveau maths sup

Modèle planétaire de Rutherford

Posté par
Casillas 26-04-16 à 01:52

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème.

Voici l'énoncé :

Le modèle planétaire de Rutherford de l'atome postule l'existence d'un noyau considéré comme ponctuel autour duquel gravitent des électrons comme le font les planètes autour du soleil. On considère que le centre attracteur est immobile et on centre le référentiel au centre de masse du centre attracteur.

(On étudie la déviation de particules alpha par la réflexion sur les électrons.)

e) Montrer que dans ce référentiel , sur les axes Ox et Oy, on obtient les équation différentielles non linéaires couplées suivantes :

$\frac{d^2x}{dt^2} = k\frac{x}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = k\frac{y}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}$

avec $k = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0m}$

J'ai commencé par appliqué le PFD :

On a $m\vec{a} = \vec{F}$ avec $\vec{F} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}}{r^3}$

Je pense qu'on doit passer en coordonnées polaires :
On aura alors :

$x = rcos\theta \\ y = rsin\theta \\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

On peut alors retrouver le dénominateur des équation différentielles car :

$(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}^3 = r^3$

Le problème c'est que je ne comprend pas d'ou viennent les x et y au numérateur ..

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : Modèle planétaire de Rutherford 26-04-16 à 12:42

Bonjour,
Tu as fait l'essentiel ! De la relation : $\vec{F} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}}{r^3}$ , tu déduis directement l'expression de l'accélération :

$\overrightarrow{a}=k\cdot\frac{\overrightarrow{r}}{r^{3}}$

Les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération sont $\left(\ddot{x},\ddot{y}\right)$ ; celle du vecteur position $\overrightarrow{r}$ sont $\left(x,y\right)$ . Tu n'as plus qu'à projeter ; les coordonnées polaires ne sont pas utiles pour cette question.

Posté par re : Modèle planétaire de Rutherford 26-04-16 à 16:12

D'accord je comprend mieux
Mais sans me placer dans les coordonnées polaire je peux quand même dire que $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ?

Posté par re : Modèle planétaire de Rutherford 26-04-16 à 17:05

Citation :
Mais sans me placer dans les coordonnées polaire je peux quand même dire que $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ?

Bien sûr ! c'est d'ailleurs en remplaçant r par cette valeur dans l'expression de l'accélération que tu obtiens les deux équations différentielles données au départ dans l'énoncé.

Posté par re : Modèle planétaire de Rutherford 30-04-16 à 17:04

Merci beaucoup

J'ai encore besoin de ton aide pour la suite ..

Les équations obtenues précédemment ne sont pas solubles analytiquement. On choisira donc une résolution numérique. Lorsque l'on code la résolution d'un problème physique, on cherche le plus souvent à créer des variables adimensionnées dont les valeurs seront voisines de l'unité (calculs numériques facilités). Ainsi on introduit :

- $l_c$ une longueur caractéristique
- $t_c = l_c/c$

On opère donc les changements de variables $X = \frac{x}{l_c}$ , $Y =\frac{y}{l_c}$ et $T = \frac{t}{t_c}$
Si la relation entre les variables u et v est u = Av avec A une constante, alors on peut différencier cette égalité pour obtenir du = Adv.

Montrer alors que les versions adimensionnées des équations différentielles obtenues précedemment sont :

$\frac{d^2X}{dT^2} = K \frac{X}{(X^2 + Y^2)^\frac{3}{2}} \\ \frac{d^2Y}{dT^2} = K \frac{X}{(X^2 + Y^2)^\frac{3}{2}}$

Avec $K = k\frac{t_c^2}{l_c^3}$

J'ai commencé par écrire :

$\frac{d^2X}{dT^2} = k\frac{t_c^2}{l_c^3} \frac{\frac{x}{l_c}}{((\frac{x}{l_c})^2 + (\frac{y}{l_c})^2)^{\frac{3}{2}}}$
Donc $\frac{d^2\frac{x}{l_c}}{d\frac{t}{t_c}^2} = k\frac{t_c^2}{l_c^3} l_c^2\frac{x}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} }$

Et à partir de là j'en ai déduis $\frac{d^2\frac{x}{l_c}}{d\frac{t}{t_c}^2} = \frac{d^2x}{dt^2} \times \frac{t_c^2}{l_c}$

Mais je pense que c'est l'inverse qu'il faut faire, c'est à dire montrer que : $\frac{d^2\frac{x}{l_c}}{d\frac{t}{t_c}^2} = \frac{d^2x}{dt^2} \times \frac{t_c^2}{l_c}$

Or je ne vois pas du tout comment montrer ça, je me perd dans mes calculs ..

Merci d'avance

Posté par re : Modèle planétaire de Rutherford 30-04-16 à 18:10

Bonjour,

Citation :
Les équations obtenues précédemment ne sont pas solubles analytiquement

Cela est totalement faux ! En passant aux coordonnées polaires, on démontre que la trajectoire est une branche d'hyperbole. Ton professeur aurait dû écrire quelque chose du genre :" la résolution de ces équations différentielles n'étant pas à notre programme, nous allons les résoudre numériquement"... Ce qui est, j'en conviens, moins valorisant mais plus honnête...
terme de gauche de l'équation différentielle, en utilisant les propriétés des dérivées de “fonction de fonction” :

$\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(l_{c}X\right)=l_{c}\frac{dX}{dt}\quad;\quad\frac{dX}{dt}=\frac{dX}{dT}\cdot\frac{dT}{dt}=\frac{1}{t_{c}}\cdot\frac{dX}{dT}$

donc :

$\frac{dx}{dt}=\frac{l_{c}}{t_{c}}\cdot\frac{dX}{dT}$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{l_{c}}{t_{c}}\cdot\frac{dX}{dT}\right)=\frac{d}{dT}\left(\frac{l_{c}}{t_{c}}\cdot\frac{dX}{dT}\right)\cdot\frac{dT}{dt}=\frac{l_{c}}{t_{c}^{2}}\cdot\frac{d^{2}X}{dT^{2}}$

terme de droite de l'équation différentielle :

$k\cdot\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=k\cdot\frac{l_{c}X}{l_{c}^{3}\left(X^{2}+Y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{k}{l_{c}^{2}}\cdot\frac{X}{\left(X^{2}+Y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

en égalisant les deux termes :

$\frac{l_{c}}{t_{c}^{2}}\cdot\frac{d^{2}X}{dT^{2}}=\frac{k}{l_{c}^{2}}\cdot\frac{X}{\left(X^{2}+Y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

Cela conduit bien à l'expression demandée. Même méthode pour la seconde équation différentielle.

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