Niveau licence

Modèle ondulatoire - Atome d'hydrogène

Posté par
thais13 30-12-17 à 23:53

Bonsoir !

J'aurais besoin d'éclaircissement concernant un exercice sur le modèle ondulatoire de l'atome d'hydrogène.

Voici l'énoncée :
(Toutes les constantes me sont données)
Un photon d'énergie E= 13,072 eV percute un atome d'hydrogène qui est dans son état
fondamental.
1) Quelle est la longueur d'onde de ce photon ?
2) Après le choc, l'atome d'hydrogène est dans un état excité. Quel est le niveau d'énergie atteint par l'électron ?
3) Quelle est l'énergie de l'électron ?
4) Sachant que l'on a la relation Ep = −2Ec où Ep et Ec sont respectivement l'énergie potentielle et l'énergie cinétique, calculer l'énergie cinétique de l'électron dans l'état excité.
5) En déduire la longueur d'onde associée à cet électron dans l'état excité.
6) Calculer la quantité de mouvement de l'électron.
7) En utilisant l'hypothèse de quantification de Bohr, quel est, en unité du rayon de Bohr, le rayon de l'orbite sur lequel se trouve l'électron ? En déduire la loi de variation du rayon avec la distance au noyau dans l'atome d'hydrogène.

Voici mes réponses :

1) E=hc/ donc =hc/E=94,9 nm

2) On utilise la formule de Rydberg : 1/=RH(1/n1² - 1/n2²), ce qui nous donne, en remplaçant n1 par 1 (état fondamental) : n=racine(RH/(RH - 1)) = 5,02 environ égal à 5 donc le niveau d'énergie atteint par l'électron est 5 (Brackett).

3) En = -13,6 . Z²/n² = - 0,544 eV (en remplaçant Z par 1 et n par 5)

4) En = énergie mécanique = Ec + Ep = Ec -2 Ep = - Ec donc Ec = 0,544 eV

5) Ec = 1/2 m v² d'où v = racine(2Ec/m) = 1,09.10^15 m.s-1
 = h/p = 6,7.10^-19 m (mais ici j'utilise la formule de la quantité de mouvement alors qu'on me demande de déterminer celle-ci dans la question suivante donc cela me paraît bizarre)

6) p = mv = 9,9.10^-16 m.kg.s-1

7) Pour cette question je me retrouve avec un résultat incohérent...
D'après mon cours : L = rp = nh̄
Donc r = nh̄/p = 5,328.10^-19 m
Et je ne sais pas comment conclure.

Quelqu'un pourrait-il me dire si mes résultats et mes calculs sont justes (et m'expliquer pourquoi dans le cas contraire) ?

Merci d'avance !

Posté par re : Modèle ondulatoire - Atome d'hydrogène 31-12-17 à 10:16

Hello

1) 2) 3) 4)   (la rédaction finale devant démontrer à quel point tu domines le sujet, n'est ce pas? et pas simplement des références à des formules ...)

5) $\lambda = \frac{h}{mv}$   avec $v = \sqrt{\frac{-2E_5}{m_e}}$

donc $\lambda = \frac{h}{\sqrt{-2m_eE_5}}$

Tu n'utilises pas explicitement le calcul préalable de la quantité de mouvement. Donc son calcul peut t'être demandé en 6)

Sauf étourderie de ma part tu t'es planté dans le calcul numérique (3,326E-10 m ?) . Peut être un mélange de pinceau entre les valeurs exprimées à partir d'eV vs J

7) Le 3eme postulat de Bohr est effectivement la quantification du moment cinétique

$\vec{r} \wedge \vec{p} = n\hbar$

Il faut dans cette expression que tu fasses alors apparaitre le rayon de Bohr (on te le demande littéralement)

Ensuite, il est vrai que la formulation "variation du rayon avec la distance au noyau" est un peu étrange, mais il me semble "extrêmement probable" que l'on te demande de démontrer   $r_n = n^2r_0$

Posté par re : Modèle ondulatoire - Atome d'hydrogène 31-12-17 à 11:58

Salut !

Merci beaucoup pour ta réponse ça m'a aidé à finir l'exercice !

5) J'avais effectivement oublié de convertir les eV en J.
h = 6,626E-34 J.s
me = 9,109E-31 kg
E5 = -0,544 eV = 8,71E-20 J
Donc, d'après la formule :  = 1,66 nm

6) Du coup je rectifie :
v = 4,36.10^5 m.s^-1
Donc p = 3,97E-25 m.kg.s^-1

7) r = nh̄/p = 1,329E-9 m
Ainsi, si on divise le résultat par le rayon de Bohr, on obtient bien 25 = 5² donc on peut écrire : r5 = r0 . 5² ou de manière plus générale : rn = r0 . n²

Posté par re : Modèle ondulatoire - Atome d'hydrogène 01-01-18 à 05:18

Hello

5) 6)

7) L'hypothèse de quantification donne

$r = n\frac{\hbar}{p} = 1,326.10^{-9}  m$

La rayon de Bohr valant   $r_0 = \frac{\epsilon_0h^2}{\pi m_ee^2} = 5,292.10^{-11} m$

On retrouve bien   $r = n^2.r_0$

Il ne serait peut être pas inintéressant que tu établisses l'expression littérale de la vitesse (en faisant l'hypothèse d'un mvt circulaire uniforme pour retrouver cette égalité dans le cas général)