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modèle Drude temps de collision moyen

Posté par
jybb 02-10-22 à 16:00

Bonjour, l'exercice est sur le temps de collision moyen dans le modèle de Drude, niveau Master 1, voici l'énoncé :

Le temps de collision moyen est l'intervalle de temps qui sépare deux collisions consécutives subies par un électron. Le caractère aléatoire des mouvements électroniques suggère les hypothèses suivantes :
- La probabilité de collision par unité de temps d'un électron est supposée constante et
égale a \dfrac{1}{\tau}
- Les collisions sont isotropes
- L'énergie que possède l'électron après une collision est sans corrélation avec son énergie avant la collision.
Soit n0 le nombre total d'électrons à l'instant t=0. Après un instant t, n(t) électrons n'ont subi aucun choc

Questions :
1) Exprimer la probabilité pour un électron de subir un choc entre les instants t et t+dt. On
notera cette probabilité dP.

ici j'ai fait : dP = \int_{t}^{t+dt}\dfrac{1}{\tau}dt = \dfrac{dt}{\tau}

2) On note n(t+dt) le nombre d'électrons n'ayant pas subi de premier choc à l'instant t+dt.
Exprimer n(t+dt) en fonction n(t)

ici je note la probabilité pour un électron de ne pas subir un choc comme étant : (1-dP)

donc j'ai : n(t+dt) = n(t)(1-dP)

pour moi, cette équation signifie "le nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc au temps t+dt = nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc au temps t * probabilité de ne pas subir un choc pendant le temps dt"

3) Calculer le taux de variation \dfrac{dn}{n} = \dfrac{n(t+dt)-n(t)}{n(t)}
du nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc pendant l'intervalle de temps dt.

ici je pose : \dfrac{n(t+dt)-n(t)}{n(t)} = \dfrac{n(t)(1-dP)-n(t)}{n(t)} = \dfrac{n(t)((1-dP)-1)}{n(t)} = -dP = \dfrac{dn}{n}

donc \dfrac{dn}{n}=-dP ... ? Je sais pas si ça répond bien à la question

4) En déduire le nombre n(t) d'électrons n'ayant subi aucun choc en fonction de l'instant t

ici je bloque, car je pars de l'expression trouvée à la question précédente et en remplaçant dP par sa valeur trouvée à 1), j'arrive à \dfrac{dn}{dt} = \dfrac{-n}{\tau}, mais ensuite je suis bloqué...

5) Calculer la probabilité pour qu'un électron ne subisse aucun choc à l'instant t
6) Calculer la probabilité pour qu'un électron subisse son premier choc entre les instants t et
t+dt.
7) Exprimer le temps moyen entre deux collisions \bar{t} ainsi que la valeur moyenne du temps
entre deux collisions au carré \bar{t^2} en fonction de la grandeur \tau.

Merci d'avance pour votre aide à la question 4)

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 02-10-22 à 21:58

Bonsoir
Tu as montré que n(t) vérifie une équation différentielle du premier ordre admettant comme solution :
no.exp(-t/)

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 02-10-22 à 22:45

Remarque sur la réponse à la question 1 :
Directement :
dP=dt/
Intégrer entre t et (t+dt) n'a pas de sens.

Posté par
jybbre : modèle Drude temps de collision moyen 03-10-22 à 20:15

Bonsoir vanoise,

Citation :
Tu as montré que n(t) vérifie une équation différentielle du premier ordre admettant comme solution :
no.exp(-t/)


ah oui je n'avais pas vu à force de manipuler les fractions j'en ai oublié que ce sont aussi des dérivées, merci

vanoise @ 02-10-2022 à 22:45

Remarque sur la réponse à la question 1 :
Directement :
dP=dt/
Intégrer entre t et (t+dt) n'a pas de sens.


Donc j'ai raison pour les mauvaises raisons... quel est le raisonnement correct pour trouver ce résultat ? Il y a un théorème ou une formule ? Ca me fait penser aux densités de probabilité avec P(x)dx mais je ne sais pas si il y a un lien...

Posté par
jybbre : modèle Drude temps de collision moyen 03-10-22 à 22:13

Pour la question 5), j'ai mis que la probabilité qu'un électron ne subisse aucun choc à l'instant "t" est de (1 - 1/\tau)

Par contre pour la 6) je vois pas quelle logique appliquer, ni quelle formule... dans l'idée il faudrait une équation comme ça :

P(\text{premier choc entre t et t+dt}) = P(\text{pas de choc jusqu'en t}) * P(\text{choc entre t et t+dt})

Mais j'ai du mal à trouver P(\text{pas de choc jusqu'en t}). n(t) est le nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc à l'instant "t", mais ça n'est pas la même chose...

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 03-10-22 à 23:46

La question 5, telle que tu l'as recopiée n'a pas de sens. Il faut sans doute comprendre :
"probabilité pour qu'un électron ne subisse aucun choc entre les instants de dates t et (t+dt)". Dans ce cas, il faut légèrement modifier ta réponse. Celle que tu fournis est nécessairement fausse : on ne peut pas soustraire à un simple nombre (ici : 1) une grandeur homogène à l'inverse d'une durée.

Posté par
jybbre : modèle Drude temps de collision moyen 04-10-22 à 11:16

vanoise @ 03-10-2022 à 23:46

La question 5, telle que tu l'as recopiée n'a pas de sens. Il faut sans doute comprendre :
"probabilité pour qu'un électron ne subisse aucun choc entre les instants de dates t et (t+dt)". Dans ce cas, il faut légèrement modifier ta réponse. Celle que tu fournis est nécessairement fausse : on ne peut pas soustraire à un simple nombre (ici : 1) une grandeur homogène à l'inverse d'une durée.


Si je comprends bien, 1/\tau est une densité de probabilité, c'est à dire une "probabilité par unité de temps" comme dit l'énoncé. (Enfin pas vraiment une "densité" car pour que ça soit une densité il faudrait diviser par une grandeur spatiale (longueur, aire ou volume)... mais mathématiquement c'est un peu pareil).

Donc, 1/\tau*dt est une probabilité (un nombre sans dimension). Donc la probabilité à la question 5) est (1 - 1/\tau*dt)

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 04-10-22 à 14:28

D'accord avec ton dernier message !

Posté par
jybbre : modèle Drude temps de collision moyen 04-10-22 à 21:25

6) proba qu'un électron subisse son premier choc entre t et t+dt :

(1-dt/\tau)(dt/\tau) = (1-dP)dP

7) temps moyen entre deux collisions, j'ai trouvé sur internet ici :



que c'était : (\bar t) = \int_0^\infty tP(t)dt = \int_0^\infty t/\tau dt = \tau, mais je vois pas comment ils trouvent \tau ici... moi j'ai

\int_0^\infty t/\tau dt = \dfrac{1}{2\tau}[t^2]_0^\infty = \infty donc clairement ça n'a aucun sens ce que je trouve :/

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 04-10-22 à 22:51

Question 6 : je tente une démonstration un peu plus simple que celle de la page 5 du document que tu cites. La probabilité dP pour qu'un électron subisse sa première collision entre les date t et t+dt est la composition de deux probabilités :

* La probabilité Pnc qu'à la date t, l'électron n'ait subit aucune collision ;

* La probabilité pour qu'il subisse une collision entre t et t+dt. Cette probabilité a déjà été calculée ; elle vaut \frac{dt}{\tau} .

Pnc peut se calculer par la méthode fournie page 5 du document ; elle peut plus simplement se déduire de la loi des grands nombres ; c'est tout simplement le quotient (nombre d'électrons n'ayant pas subit de collision à la date t)/(nombre initial d'électrons) :

P_{nc}=\frac{n_{(t)}}{n_{o}}=e^{-\frac{t}{\tau}}

Finalement :

dP=e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\frac{dt}{\tau}

La durée moyenne entre deux collisions est donc la valeur moyenne de t, date de la première collision :

<t>=\int_{0}^{\infty}t\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\frac{dt}{\tau}

On montre en math :

\int_{0}^{\infty}x.\exp\left(-\frac{x}{a}\right)=a^{2}

On obtient bien : <t>=\tau .

Posté par
vanoisere : modèle Drude temps de collision moyen 04-10-22 à 23:17

Petit oubli dans la formule de l'avant dernière ligne ; je rectifie  :

\int_{0}^{\infty}x.\exp\left(-\frac{x}{a}\right).dx=a^{2}

Posté par
jybbre : modèle Drude temps de collision moyen 05-10-22 à 13:51

Bonjour,

Ok tes explications m'ont permi de mieux comprendre, je suis d'accord pour la 6), et pour la 7) j'ai calculé les deux intégrales via IPP et j'ai : \langle t \rangle = \tau et \langle t^2 \rangle = 2\tau^2

Merci beaucoup pour l'aide vanoise


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