Bonsoir
Il ne s'agit pas de calculer l'énergie nécessaire à  obtenir une distribution volumique sphérique de charges électriques négatives mais d'étudier l'énergie d'interaction entre une charge ponctuelle positive et une distribution sphérique  de charges électriques négatives. Pourquoi ne pas étudier l'énergie potentielle de la charge ponctuelle Ze  dans le champ créé par la distribution volumique sphérique de charge totale -Ze  ?

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. C'est vrai que si on étudiait l'effet d'une charge sur l'autre, alors on ne prendrait que l'une des deux charges, mais dans ce cas aussi le champ électrique serait différent. Si on veut étudier l'effet de la charge ponctuelle +Ze sur la distribution de charge, on ne prendrait que le champ issu de celle-ci.
Et autre chose qui m'a conduit à penser qu'il faut prendre les deux charges dans la formule de l'énergie car c'est une énergie d'interaction entre les deux charges et pas seulement de l'action d'une sur l'autre.

Quelle est l'expression de l'énergie potentielle proposée  ?

Celle proposée par le corrigé :

Moi je n'ai pas continué le calcul car l'expression à l'intérieur de l'intégrale était un peu longue (et surtout je ne pouvais pas avoir la borne 0).

J'ai bien le même champ électrique que le corrigé, dans une sphère de rayon r on a .
La charge intérieure étant :

Si je pouvais reprocher quelque chose au corriger, c'est d'utiliser cette expression de la charge, mais d'utiliser juste la charge négative pour l'énergie potentielle.

Attention à cette formule :



Le vecteur champ n'est pas défini en r = 0 puisqu'il n'est pas défini sur la charge ponctuelle. Dans le cas d'une distribution volumique de charge, l'énergie potentielle d'interaction se calcule par :



Le facteur (1/2) est là pour ne pas compter deux fois l'énergie d'interaction entre deux charges élémentaires .

C'est peut-être cette histoire de ne pas compter deux fois l'énergie d'interaction qui te gêne. Plus de détails ici, page 19 :

Voici une méthode possible permettant d'obtenir ton résultat ;  elle permet de bien comprendre, me semble-t-il, l'influence de la charge positive et celle de la charge négative sur le résultat.

Je m'intéresse d'abord à l'énergie électrostatique entre les charges négatives de la boule. Elle se calcule par la formule que je t'ai fournie dans le précédent message. Il faut donc d'abord trouver le potentiel V(r) créé par ces charges négatives. Selon Gauss, le vecteur champ créé par ces charges négatives vaut pour r<ro :





Pour r>ro : constante nulle car V=0 à l'infini pour une distribution finie de charges

La continuité de potentiel en r=ro permet d'obtenir K :



D'où l'expression du potentiel créé par la boule chargée négativement pour r<ro :



L'énergie électrostatique de cette boule est l'énergie qui devrait fournir un machine électrostatique pour apporter ces charges depuis l'infini et les rassembler pour former la boule chargée. Elle est fournie par la formule indiquée dans mon précédent message :





Une fois la boule de charge obtenue, il faut placer en son centre la charge ponctuelle +Z.e : cela revient à l'amener de l'infini où le potentiel est nul au centre de la boule où le potentiel est celui déterminé précédemment pour r= 0 :



D'où l'énergie potentielle électrostatique :

petit oubli du symbole de dérivation dans la première formule de mon précédent message ; je corrige :

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre démonstration. C'est très clair et compréhensible. Je me souviens qu'en prépa on nous disait aussi que l'énergie électrostatique est celle pour ramener une charge de l'infini à sa position, et c'était ainsi qu'on avait démontré l'énergie électrostatique d'interaction entre deux charges; il en sortait le .

Mais je ne me suis jamais posé la question sur pourquoi on définit ainsi l'énergie. Je comprends que pour ramener une charge de l'infini vers une position il faut un travail (le 0 vient de l'inexistence de potentiel à l'infini), mais c'est comme je trouve que c'est comme une astuce de calcul plutôt qu'une réalité physique.

Merci d'avance.

Seules les variations d'énergie ont un sens physique. Conséquence  : on ne peut définir une énergie que si on  précise au préalable un état d'énergie nulle. Pour l'énergie potentielle d'interaction qui nous intéresse ici, l'état d'énergie nulle est un état fictif où toutes les charges élémentaires sont infiniment éloignées les unes des autres.
Rassembler les charges élémentaires négatives dans la sphère conduit à un état instable (énergie Ep1>0) : logique compte tenu des répulsions entre ces charges.  Ajouter la charge centrale positive stabilise la structure  : Ep<0.

Merci pour votre réponse. Donc à chaque fois qu'on va parler d'énergie on doit penser à un état de référence.
Une question peut être hors sujet mais qui me vient à l'esprit maintenant que je cherche des états de références pour chaque énergie que je connais. Lorsqu'en thermodynamique statistique on parle d'un gaz de particules qui lorsque la température est très basse de la température caractéristique alors toutes les particules sont dans l'état d'énergie le plus bas, qu'est ce que serait l'état d'énergie nulle ? Pour les orbitales atomiques on peut dire que c'est quand l'électron "quitte" l'atome, mais pour un gaz je vois mal qu'est ce que çà
pourrait être.
Très belle interprétation des signes des énergies. Mais du coup la charge ponctuelle est stable ?

Merci d'avance.

En thermo statistique, lors de l'étude d'un gaz, l'état de référence est l'état fictif correspondant à toutes les particules immobiles dans le référentiel d'étude. Il correspond à une énergie cinétique nulle du gaz. Si le gaz est assimilé à un gaz parfait, l'énergie potentielle d'interaction est toujours nulle ; l'état de référence est l'état d'énergie interne nulle. Il correspond à une température absolue nulle.

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je devrai étudier un jour la physique nucléaire, au moins les notions de base.
Juste pour continuer l'exercice, enfin pour dire  pourquoi le modèle de l'exercice se différencie des autres. C'est que pour le calcul de l'énergie cinétique, il utilise la densité d'états pour trouver que l'énergie cinétique moyenne d'un électron s'exprime en fonction de l'énergie de Fermi. Et on trouve qu'on peut écrire l'énergie totale de l'atome qui s'exprime sous la forme : . En faisant un tracé on dit qu'on a une courbe de Condon Morse.

Je pense qu'en prépa on avait parlé de ça, mais c'était l'énergie d'interaction entre deux atomes qui était la somme d'un terme répulsif et d'un terme attractif, et c'était en fonction de la distance entre ces deux atomes.  Alors que là c'est plutôt l'énergie d'un atome en fonction de la distance interatomique, ou plutôt le rayon à partir duquel on peut considérer qu'il ne peut pas y avoir un électron lié à cet atome.

En CPGE, il s'agit surtout d'étudier la stabilité des molécules mais le principe est bien le même. Pour te rafraîchir la mémoire : exemple d'exercice sur les oscillations de la molécule de monoxyde de carbone.

Bonsoir,

Je vois. Merci pour votre réponse et le document, ça m'a rappelé des choses !