Bonjour
C'est un exercice hyperclassique que posent les professeurs de math dès qu'ils ont étudié la notion de dérivée lorsqu'ils sont soucieux de donner à leur enseignement des applications concrètes. Cet exercice est repris au niveau post-bac en optique pour illustrer le principe de Fermat.
En posant : KMo=x, MoL=D - x avec D = constante =KL, il est facile (Pythagore...) de déterminer en fonction de x, D,ha et hs les distances  AMo et MoS puis la durée totale t du parcours de A à S.
En considérant t comme une fonction de x, un calcul de dérivée et un tableau de variation permettent facilement de montrer que la valeur minimale de t est obtenue pour une position particulière de Mo qui vérifie la loi de Descartes sur la réfraction...

Voici le schéma complété pour illustrer mes remarques précédentes.

Bonjour vanoise

En effet, le but est de montrer que la trajectoire du missile, calculée pour un minimum de temps correspond  au trajet de la lumière dans la traversée de deux milieux.

ha, hs, c et k désignent respectivement la hauteur de l'avion au moment du tir du missile, la profondeur du sous-marin, la distance des projetés orthogonaux K et L de l'avion et du sous-marin à la surface de la mer et le rapport des vitesses V1/V2 du missile dans l'air et dans la mer. M est le point d'impact du missile à la surface de la mer.
(un ordinateur tient compte de la vitesse et de la direction du sous-marin)
On prend comme origine K et on appelle c l'abscisse de L et x celle de M sur la droite (KL ).
Il faut chercher la (ou les) position(s) de M telle(s) que S(x)=AM/k + MB est minimum.
On est amené à calculer les zéros de S'(x) = x/kAM - (c - x)/MB
AM = (ha² + x²) et MB = (hs² + (c-x)²)

Un petit programme donne les résultats suivants :

k        ha hs   c          solution
1.5    5    4   10         7.356393021
2        20 10   30   25.70521133
3        30 20   50   44.25872802
1         5    4   10    50/9 (ligne droite)

La précision est 10 ^-9 et la 4ième solution est exacte.
Il reste deux problèmes à résoudre:  montrer que ces solutions correspondent à des minima (facile) et que s'il existe d'autres solutions, elles ne conviennent pas (moins simple).

On peut essayer de transformer S'(x) = 0 en une équation  polynomiale P(x) = 0
dans laquelle P(x) est un polynôme de degré au plus 4.

Maintenant, il reste à montrer le lien avec la formule de Descartes

On appelle M0 le point M correspondant au minimum.
Ce minimum correspond à S' = 0  soit x/kAM0 =(c-x)/M0B (en admettant que M0 est entre K et L )
Ce qui donne x/V1AM0 = (c-x)/V2M0B ou encore v/V1 * x/AM0 = v/V2 * (c-x)/M0B,
en appelant v la vitesse du missile dans le vide .

On désigne  n1 = v/V1 et n2 = v/V2 et on a x/AM0 = cos(/2-1) = sin (1) et
(c-x)/M0B = cos( /2 -2) = sin(2) (cf. la figure ci-dessous)

Ce qui fait: n1 sin(1) = n2 sin(2) on retrouve
la relation de Snell-Descartes