Bonjour à tous.
  Je me suis attaqué à la résolution d'un problème sur la microscopie à force atomique.
  Voici l'énoncé:
  "Dans un microscope à force atomique AFM (Atomic Force Microscope), une pointe d'exploration A portée par l'extrémité d'un levier est placée à très faible distance de la surface à observer.
La pointe A subit entre autres les forces suivantes:
-L'action du levier que l'on peut modéliser par un ressort de raideur k variable entre 0,1 et 40N.m^-1 de longueur à vide l₀. On choisit x la coordonnée de la pointe selon la verticale descendante et l'origine 0 de cet axe au point d'attache du ressort qui modélise le levier.
-Une force de la part des atomes de cet échantillon, qui varie fortement en fonction de la distance. Cette force atomique, à une distance de 1nm, dont l'origine est essentiellement électrostatique est attractive. Lorsque la pointe se déplace devant le matériau, la variation de cette force permet d'analyser la surface de ce dernier. On montre qu'elle peut se mettre sous la forme:
_a(x)+_c+k_f(x-l_c)_x
lc étant une longueur constante, _c=F_cx une force constante supposée verticale, k_f un coefficient de force atomique positif qui dépend très fortement de la distance qui sépare la pointe de la surface à analyser. k_f vaut 1,3N.m^-1 à 1nm et 10N.m^-1 à 0,5nm.
La pointe A a une masse m, l'accélération de pesanteur g est supposée uniforme.

1)Exprimer les forces s'exerçant sur la pointe A (en particulier la tension du ressort).
2)En supposant le référentiel d'étude galiléen, établir l'équation différentielle du second ordre satisfaite par x(t).
3)Établir l'équation différentielle du 2nd ordre satisfaite par X(t).
4)Dans quel cas est-ce l'équation d'un oscillateur harmonique?
5)Définir alors l'expression de la pulsation propre '₀
6)Donner son expression en fonction de ₀=(k/m) k et k_f.
A t=0, l'expérimentateur lâche la pointe A à l'abscisse x(0)=a (avec a une constante positive telle que a>x_eq.
7)Résoudre l'équation différentielle précédente et déterminer l'expression de x(t).
8)Tracer l'allure de x(t) en précisant sur le graphe la définition de la période et de l'amplitude du signal.
9)Comment ce système permet-il de remonter à la topographie de la surface?"

J'ai commencé à répondre:

1) La pointe A est soumise à 3 forces:
-Le poids P=mg (P et g vecteurs) = mge_x (e_x vecteur)
-La loi de Hooke F_ressortA=-kle_x (F et e_x vecteurs).
-La force exercée par les atomes de l'échantillon F_a=F_c+k_f(x-l_c)e_x (F_a F_c et e_x des vacteurs)

2) Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on a, d'après les lois de Newton:
F_ext=dp/dt=m*dv/dt=ma (F_ext p v a des vacteurs
a=d²OA/dt=d²x/dt²e_x=a_xe_x (a,OA,e_x des vecteurs) comme la pointe ne peut se déplacer que selon l'axe horizontal d'où vecteur a n'a de composante que selon l'axe (Ox)
F_ext=F_ressortA+P+F_a=-kle_x+mge_x+F_ce_x+k_f(x-l_c)e_x (]F_ext, F_ressortA, P, F_a, e_x, des vecteurs).
on projette F_ext(vecteur) sur l'axe vertical:
(Ox): -kle_x+mge_x+F_ce_x+k_f(x-l_c)e_x=d²x/dt²e_x (e_x vecteur)
Soit m*d²x/dt²=-kx+mg+F_c+k_f(x-l_c) car l=l-l₀=x car l'origine de l'axe Ox est placé au point d'attache du ressort qui modélise le levier, càd à la position d'équilibre de A qui correspond à l₀.
Finalement l'équation s'écrit d²x/dt²+kx/m+g+F_c/m+k_f(x-l_c)/m=0.

Pour la suite je ne sais pas du tout. En fait, j'ai déjà l'impression que je ne m'y suis pas pris de la bonne manière pour le 2). Pouvez-vous m'aider?
Merci.