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méthode de calcul du moment d'inertie

Posté par
jybb 08-02-22 à 10:25

Bonjour,

(Niveau L3 Physique) Je ne comprend pas la méthode pour calculer le tenseur d'inertie d'une sphère (j'ai pris le cas le plus simple car je ne comprend pas du tout).

Dans mon cours il est écrit :

Citation :
Le centre d'inertie est le centre de la sphère depuis lequel tous les axes sont axes de symétrie, donc J_{xy} = J_{yz} =J_{zx} = 0.


Je ne comprend en quoi le fait que les axes soient des axes de symétrie donne ces composantes à zéro ? Quel est le raisonnement ?

Ensuite ils disent :

Citation :
L'invariance par rotation montre que
J_{xx} = J_{yy} = J_{zz} = \dfrac{1}{3}(J_{xx} + J_{yy} + J_{zz})


Pourquoi a-t-on cette égalité ?

ensuite :

\dfrac{1}{3}(J_{xx} + J_{yy} + J_{zz}) = \dfrac{2}{3}\iiint\rho(x^2+y^2+z^2)d^3r

ça je comprend ça vient des valeurs du tenseur d'inertie qui sont  :

J_{xx} = \iiint\rho(y^2+z^2) \quad J_{yy} = \iiint\rho(x^2+z^2) \quad J_{zz} = \iiint\rho(x^2+y^2)

Mais ensuite on a :

\dfrac{2}{3}\iiint\rho(x^2+y^2+z^2)d^3r = \dfrac{2}{3}\rho\int_0^R r^2\times 4\pi r^2 dr

Je comprend que x^2+y^2+z^2 = r^2, ça vient de la définition de r même si je suis pas sûr pourquoi on l'utilise ici (ça vient du fait qu'on intègre l'élément de volumed^3 r mais bon... c'est vague). Je ne comprend pas bien comment on obtient le membre de droite.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoisere : méthode de calcul du moment d'inertie 08-02-22 à 10:46

Bonjour

Pour les produits d'inertie, pour Jxy par exemple. Pour tout masse élémentaire dm centrée en (x,y,z) correspond une autre masse élémentaire centrée en (x,-y,z).Lorsque l'on intègre sur la sphère ou la boule :

J_{xy}=\iiint x.y.dm=0

Pour les moments d'inertie :la boule ou la sphère est invariante par rotation autour de son centre ; le moment d'inertie est donc le même quel que soit l'axe passant par le centre que l'on considère. Cela implique en particulier :

J_{xx}=J_{yy}=J_{zz}

donc :

\iiint(x^{2}+y^{2})dm=\iiint(x^{2}+z^{2})dm=\iiint(y^{2}+z^{2})dm=\frac{2}{3}\iiint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dm

Cette dernière intégrale est particulièrement facile à calculer pour en utilisant les coordonnées sphériques. Elle représente le moment d'inertie par rapport au centre O. Il faut bien revoir ton cours et surtout bien avoir en tête la définition du moment d'inertie. C'est une intégrale de r2.dm où r désigne la distance de la masse élémentaire au point, à l'axe, au plan par rapport auquel on calcule le moment d'inertie.

Posté par
jybbre : méthode de calcul du moment d'inertie 08-02-22 à 15:07

Bonjour,

D'accord je comprend mieux pour les composantes "produits". Mais je n'arrive pas à transposer le cas de la sphère sur le cas de la tige dans cet exemple : (c.f. schéma joint)

Il faut calculer le moment d'inertie des tiges (OA) et (AB).

Je comprends qu'il y a une symétrie car le moment cinétique est dirigé selon l'axe (Oz) vers les z croissants pour les deux tiges.
Donc J_{xy} = J_{yx} = 0 mais J_{zx} \neq 0 ?

Mais je ne suis pas sûr de quoi dire de J_{xx}, J_{yy} et J_{zz}

méthode de calcul du moment d\'inertie

Posté par
vanoisere : méthode de calcul du moment d'inertie 08-02-22 à 21:37

Dans le cas d'une tige de section négligeable colinéaire à l'axe (Ox), on peut considérer que pour toute masse élémentaire dm de la tige : y=0 ; z=0 ; cela simplifie énormément le calcul...

Posté par
jybbre : méthode de calcul du moment d'inertie 09-02-22 à 22:14

Bonjour,

J_{xx} = 0$ , $J_{yy} = J_{zz} =  \rho\iiint x^2d^3r

mais ce sont les 3 composantes du tenseur d'inertie donc on aura une matrice... où alors il ne faut considérer que J_{zz} ? Parce que le moment cinétique est selon (Oz) ? J'essaie de comprendre la méthode qu'il faut appliquer

Posté par
vanoisere : méthode de calcul du moment d'inertie 09-02-22 à 23:02

Compte tenu de mes messages précédents, la matrice d'inertie à une extrémité O d'une tige homogène de longueur L possède tous ses termes nul sauf Jyy et Jzz
La valeur commune se calcule à partir de la formule générale faisant intervenir l'intégrale de r2dm avec ici : r2=x2,
dm représentant la masse élémentaire de la portion élémentaire de tige située entre x et (x+dx) :
dm=µ.dx où µ est la masse linéique :
µ=m/L...

Posté par
jybbre : méthode de calcul du moment d'inertie 09-02-22 à 23:30

vanoise @ 09-02-2022 à 23:02

Compte tenu de mes messages précédents, la matrice d'inertie à une extrémité O d'une tige homogène de longueur L possède tous ses termes nul sauf Jyy et Jzz
La valeur commune se calcule à partir de la formule générale faisant intervenir l'intégrale de r2dm avec ici : r2=x2,
dm représentant la masse élémentaire de la portion élémentaire de tige située entre x et (x+dx) :
dm=µ.dx où µ est la masse linéique :
µ=m/L...


\int_0^L x^2\dfrac{m}{L}dx = \dfrac{mL^2}{3}, je ne trouve pas le \dfrac{1}{12} de la correction..

Posté par
vanoisere : méthode de calcul du moment d'inertie 10-02-22 à 15:19

Il faut remplacer 3 par 12 si tenseur d'inertie en G.

Posté par
vanoisere : méthode de calcul du moment d'inertie 10-02-22 à 22:00

Justificatif  , si l'origine de ton repère est en G et non à une extrémité, il faut intégrer de -L/2 à L/2.

Posté par
jybbre : méthode de calcul du moment d'inertie 12-02-22 à 00:06

vanoise @ 10-02-2022 à 22:00

Justificatif  , si l'origine de ton repère est en G et non à une extrémité, il faut intégrer de -L/2 à L/2.


Bonjour, d'accord je comprend d'où vient ce facteur 1/4 qui donne bien 1/12 maintenant ! Et par la même occasion c'est clair maintenant pourquoi on intègre de -L/2 à +L/2. Merci beaucoup vanoise


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