Niveau licence

Mécanique Quantique: polariseurs multiples

Posté par
Xahaal 26-01-20 à 16:07

Bonjour à tous,

Je cherche de l'aide pour un exercice qui me pose problème en mécanique quantique.

Soit un photon polarisé linéairement et initialement horizontalement par rapport à une succession de polariseurs. (état quantique initial : $|\Psi _{00}> = |H>$ , avec $|H>$ = vecteur unitaire horizontal et $|V>$ = vecteur unitaire vertical).

Il y a 9 polariseurs en tout (notés, Pol, avec $n \in [0, 8]$ ).

Le premier (Pol) fait un angle orienté + $\omega t$ avec l'horizontale, le second un angle $\frac{\pi }{2}$ - $\omega t$ avec l'horizontale (c'est à dire qu'il est décalé d'un quart de tour et qu'il tourne dans le sens antitrigo), le troisième : $\frac{\pi }{2}$ + $\omega t$ et ainsi que suite, de sorte que chaque polariseur Pol tournant dans les deux sens et décalé d'un nombre entier de fois $\frac{\pi }{2}$ .

Pour résumer de manière plus clair les angles orientés de chaque polariseur :
Pol = + $\omega t$
Pol = $\frac{\pi }{2}$ - $\omega t$
Pol = $\frac{\pi }{2}$ + $\omega t$
Pol = $\pi$ - $\omega t$
Pol = $\pi$ + $\omega t$
Pol = $\frac{3\pi }{2}$ - $\omega t$
Pol = $\frac{3\pi }{2}$ + $\omega t$
Pol = $\2\pi$ - $\omega t$
Pol = $\2\pi$ + $\omega t$

Et du coup on nous demande de trouver la probabilité de transmission à travers chaque polariseur en négligeant la distance de la source au premier polariseur et également la distance entre chaque polariseur (ils sont collés ensembles).

Et il faut démontrer que la probabilité totale de transmission à travers tous les polariseurs s'écrit sous la forme :

$P_{tot} = P_{0}(\frac{sin(4\omega t)}{2})^{8}$

J'ai bien compris le principe du produit Hermitien et des espaces de Hilbert.

Si j'ai bien compris la probabilité de détecter le photon après le passage par un polariseur est: $\left|<\psi _{n}|\psi _{n-1}> \right|^{2}$ , seulement je pense que j'ai du mal à comprendre comment écrire les états quantiques entre chacun des polariseurs.

D'après ce que j'ai compris l'état s'écrit : $|\psi _{n}> = cos(\theta _{n})|H> + sin(\theta _{n})|V>$

Du coup j'obtient ça :
$|\Psi _{00}> = |H>$
$|\Psi _{0}> = cos(\omega t)|H> + sin(\omega t)|V>$
$|\Psi _{1}> = cos(\frac{\pi }{2} - \omega t)|H> + sin(\frac{\pi }{2} - \omega t)|V>$
$|\Psi _{2}> = cos(\frac{\pi }{2} + \omega t)|H> + sin(\frac{\pi }{2} + \omega t)|V>$
$|\Psi _{3}> = cos(\pi - \omega t)|H> + sin(\pi - \omega t)|V>$
$|\Psi _{4}> = cos(\pi + \omega t)|H> + sin(\pi + \omega t)|V>$
$|\Psi _{5}> = cos(\frac{3\pi }{2} - \omega t)|H> + sin(\frac{3\pi }{2} - \omega t)|V>$
$|\Psi _{6}> = cos(\frac{3\pi }{2} + \omega t)|H> + sin(\frac{3\pi }{2} + \omega t)|V>$
$|\Psi _{7}> = cos(2\pi - \omega t)|H> + sin(2\pi - \omega t)|V>$
$|\Psi _{8}> = cos(2\pi + \omega t)|H> + sin(2\pi + \omega t)|V>$

Je vous passe les détails de calculs et les simplifications des expressions mais du coup moi, en partant du fait que P₀ = $cos^{2}(\omega t)$ j'obtient :

$P_{tot} = P_{0}(\frac{sin^{8}(2\omega t)cos^{4}(2\omega t)}{16})$

Ce qui apparemment est faux... Et du coup je ne comprend pas ou je me trompe. Dans l'écriture des vecteurs d'états quantiques à chaque étape? Dans mes calculs de probabilités?

Je suis un peu perdu et je n'arrive pas à avancer depuis quelques jours

Merci d'avance si quelqu'un m'aide à me pencher sur ce problèmes ! Et surtout, si ce n'est pas clair n'hésitez pas à me demander des précisions !

Posté par re : Mécanique Quantique: polariseurs multiples 26-01-20 à 19:15

Bonjour,

Je vais raisonner classiquement.
A la sortie du 1er polariseur, l'onde est polarisée rectilignement dans la direction $\omega t$ , et l'amplitude est $\cos(\omega t)$ , projection de la direction de polarisation incidente sur la direction du polariseur, d'intensité $\cos^2(\omega t)$
Pour le deuxième polariseur, l'angle entre la polarisation incidente et le polariseur est $\pi/2-2\omega t$ , soit un terme de projection de $\cos(\pi/2-2\omega t)=\sin(2\omega t)$ , et on sort dans la direction $\pi/2-\omega t$ ; si on fait $<\Psi_0 ! \Psi_1>$ , on trouve la même chose
Pour le troisième polariseur, l'angle entre la polarisation incidente et le polariseur est $2\omega t$ , soit un terme de projection de $\cos(2\omega t)$ ; idem avec $<\Psi_1 ! \Psi_2>$
Et ainsi de suite
Donc en amplitude $\cos(\omega t)\sin(2\omega t)\cos(2\omega t)...=\cos(\omega t)\tfrac 12 \sin(4\omega t)...$ qui en passant en intensité donne la formule proposée.

Je pense qu'il y a simplement des erreurs de calcul, mais je n'ai pas fait les ... !

Posté par re : Mécanique Quantique: polariseurs multiples 26-01-20 à 20:05

D'accord, merci pour la réponse.

Je n'avais jamais vraiment entendu parler de ces formules de polarisations avant de commencer la mécanique quantique.

Mais du coup mes formules ne sont pas correctes en fait. Il faut prendre en compte l'angle précédent. Par exemple : $|\psi_{1}> = cos(\theta _{1} - \theta _{2}) |H> + sin(\theta _{1} - \theta _{2}) |V>$ , et pour calculer la probabilité de transmission il faut prendre en compte un photon qui arrive horizontalement sur le polarisateur concerné avec une probabilité de 1, ce qui donne bien la formule demandé avec une alternance de $sin(\omega t)$ et $cos(\omega t)$ .

Et donc si j'ai bien compris les états quantiques s'écriraient plutôt :
$|\psi_{00}> = |H> \\ |\psi _{0}> = cos( \omega t) |H> + sin( \omega t) |V> \\ |\psi _{1}> = cos( \frac{\pi }{2}-\omega t) |H> + sin(\frac{\pi }{2}- \omega t) |V> \\ |\psi _{2}> = cos( 2\omega t) |H> + sin(2 \omega t) |V> \\ |\psi _{3}> = cos( \frac{\pi }{2}-\omega t) |H> + sin(\frac{\pi }{2}- \omega t) |V> \\ |\psi _{4}> = cos( 2\omega t) |H> + sin(2 \omega t) |V> \\ |\psi _{5}> = cos( \frac{\pi }{2}-\omega t) |H> + sin(\frac{\pi }{2}- \omega t) |V> \\ |\psi _{6}> = cos( 2\omega t) |H> + sin(2 \omega t) |V> \\ |\psi _{7}> = cos( \frac{\pi }{2}-\omega t) |H> + sin(\frac{\pi }{2}- \omega t) |V> \\ |\psi _{8}> = cos( 2\omega t) |H> + sin(2 \omega t) |V>$

Je ne sais pas si j'ai bien saisi mais en tous cas ça marche comme ça. Merci

Posté par re : Mécanique Quantique: polariseurs multiples 26-01-20 à 20:41

Bonjour,

Je ne connais pas précisément le formalisme quantique mais j'ai l'impression que dans $<\Psi_n ! \Psi_{n-1}>$ , le dernier /Psi est l'état d'entrée et le premier l'état de sortie.
SI vous désignez par $<\Psi_2 !$ , l'état de sortie du polariseur 2, votre premier /Psi_2 est correct. Ce qui est peut-être incorrect est le résultat du passage à travers le deuxième polariseur donné par $<\Psi_2 I \Psi_1>=\cos(\pi/2-\omega t)\cos(\omega t)+\sin(\pi/2-\omega t)\sin(\omega t)=\cos(\pi/2-2 \omega t)=\sin(2 \omega t)$ avec un peu de trigo et $!V>,!H>$ base orthonormée

Posté par re : Mécanique Quantique: polariseurs multiples 26-01-20 à 23:24

En fait je crois que j'ai compris mon problème. j'ai calculé $\left| <\psi _{2}|\psi _{1}>\right|^{2}$ comme la norme et donc je montais tout au carré avant de faire mes rapports trigonométriques ce qui me donnait $\frac{sin^{2}(2\omega t)}{2}$ . Mais non le produit hermitien est un produit scalaire et on élève le résultat au carré après.

Merci

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Mécanique Quantique: polariseurs multiples

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique