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Mécanique quantique - Effet tunnel
Bonjour,
J'ai un exercice de mécanique quantique à résoudre par un programme Matlab et je ne saisis pas certains points.
On soumet une particule à une barrière rectangulaire et l'on sépare l'espace en trois régions :
x < -a/2 : V(x) = 0
-a/2 < x < a/2 : V(x) = V0 > 0
x > a/2 : V(x) = 0
La fonction d'onde φ a des expressions distinctes pour chacune des régions. On nous précise que pour le cas E < 0 s'applique un effet tunnel (dont je pense avoir compris le concept) et que pour E > 0 a lieu une résonance (que j'ai un peu plus de mal à visualiser dans notre cas).
Je vous fournis en annexe les graphes obtenus (de gauche à droite et de haut en bas) :
a) Coefficient de réflexion d'un électron en fonction de son énergie
b) Coefficient de transmission d'un électron en fonction de son énergie
c) Tracé de |φ|² pour une énergie E > V0 (résonance)
d) Tracé de |φ|² pour une énergie E < V0 (effet tunnel)
Voilà mes questions :
1) Les tracés vous semblent-ils cohérents ? J'ai surtout un doute pour le c), puisque je ne sais pas quel est le comportement habituel en sortie de barrière dans le cas de la résonance.
2) A partir de quand considère t'on que la barrière est franchie ? Dès le premier trait vertical ou à partir du deuxième ?
3) Comment peut-on estimer la probabilité de passage de la barrière dans le cas E < V0, sachant que |φ|² est en unités arbitraires et n'est pas normalisé ?
Je vous remercie par avance pour les éclaircissements que vous pourrez m'apporter.
Cordialement,
Bonjour
On nous précise que pour le cas E < 0 s'applique un effet tunnel
Il y a sans doute erreur d'énoncé. Je ne vois pas comment l'énergie loin de la barrière pourrait être négative alors que l'énergie potentielle y est nulle. Une énergie cinétique négative ???
L'effet tunnel correspond à E<Vo. Un mécanique classique, la probabilité de traverser la barrière est rigoureusement nulle. Ce n'est pas le cas en mécanique quantique et cela constitue l'effet tunnel.
Comment peut-on estimer la probabilité de passage de la barrière dans le cas E < V0,
L'étude du facteur de transmission permet d'évaluer l'importance de l'effet tunnel.
Voici deux exemples de traitement rigoureux du problème :
(partie 2)Je vous remercie de votre réponse.
Le "0" est une erreur de recopie de l'énoncé et j'en suis navré (comprendre "V0")...
Vous l'avez d'ailleurs relevé par la suite, on a donc bien : E < V0 (effet tunnel) et E > V0 (résonance)
Étant encore un novice en mécanique quantique (je pense que cela se ressent), quelques questions me viennent à l'esprit à la lecture de ces précieux documents :
1) La probabilité de passage ne se déduit-elle que du coefficient T ? Cela me paraît effectivement logique, mais je dois avouer que l'énoncé m'a un peu perturbé :
"Tracer |φ(x)|² et en déduire la probabilité de passage par effet tunnel d'un électron d'énergie E = 1 ev < V0."
Le "en déduire" m'a fait penser que la probabilité découlait du graphe avec |φ(x)|², mais cela semble de fait ne pas être le cas.
2) Si ce graphe avec |φ(x)|² n'a pas cette utilité : que signifie-t-il ? Et comment faut-il interpréter concrètement les oscillations sinusoïdales en amont de la barrière et la fonction constante obtenue en sortie ?
Je vous remercie d'avance.
Le fait que |
|2 ne soit pas nul dans la zone n° 3 est une preuve de l'existence de l'effet tunnel : la probabilité de présence de la particule dans cette zone n'est pas nul mais cela correspond à un coefficient de transmission strictement positif.
Pour les "oscillations" : la fonction d'onde peut être considérée comme résultant d'une onde incidence se propageant vers la barrière et d'une onde réfléchie se propageant en sens inverse : cette superposition se traduit par une succession de maximums et de minimums du module de la fonction d'onde résultante : il y a analogie avec les "ventres" et les "nœuds" de vibrations observées en théorie ondulatoire classique (expérience de Melde par exemple). Dans le cas E>Vo, l'amplitude des maximums peut devenir supérieure à l'amplitude de l'onde incidente seule que l'on aurait en absence de barrière : toujours par analogie, on peut parler de résonance.
Un grand merci pour ces précisions !
Un dernier point me bloque encore dans ma compréhension :
Graphiquement, pour une énergie E donnée et pour x > a/2, la valeur de |φ(x)|² est égale à la probabilité obtenue grâce au coefficient de transmission pour cette même énergie E.
J'ai testé ceci pour différentes valeurs de E et cela semble se vérifier.
S'agit-il de coïncidences malencontreuses ou peut-on également déduire la probabilité de traverser la barrière en utilisant |φ(x)|² ?
Je vous remercie par avance.
pour x > a/2, la valeur de |φ(x)|² est égale à la probabilité
Pas tout à fait ! |φ(x)|² représente la densité de probabilité et, avec l'hypothèse faite d'exclure la possibilité pour la particule de la zone 3 de revenir vers la barrière, cela conduit à |φ(x)|² =constante strictement positive. Impossible donc de trouver une probabilité de présence dans la zone 3 puisque celle-ci est d'extension infinie vers la droite.
La phrase de ton énoncé : "Tracer |φ(x)|² et en déduire la probabilité de passage par effet tunnel" est donc un peu ambiguë.
A titre d'approfondissement : le fait d'obtenir dans la zone 3 une fonction d'onde de la forme :
=A3.exp[i(k.x-
.t)]
conduit à k parfaitement définie et donc aussi à "p" parfaitement définie. Selon le principe d'incertitude de Heisenberg, l'absence d'incertitude sur "p" conduit à une incertitude totale sur la position de la particule. C'est bien ce qu'on obtient dans la zone 3 : la densité de probabilité étant indépendante de x, la particule peut se trouver n'importe où dans la zone 3 avec la même densité de probabilité.
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