Il est où ce shéma ?

Les axes de l'ellipse sont-ils ou non de même direction que les axes du repère ??

A supposer que l'axe des X du repère supporte l'axe de dimension 2a de l'ellipse et que l'axe des y du repère supporte l'axe de l'ellipse de dimension 2b :

M(alpha.cos(wt+Phi) ; Beta.cos(wt+Psi)) point(s) de l'ellipse
Avec O(0 ; 0) le centre de l'ellipse.

OM = Rho = RC[alpha².cos²(wt+Phi) + Beta².cos²(wt+Psi)]

wt = A pour avoir Rho = a
alpha².cos²(A+Phi) + Beta².cos²(A+Psi) = a² (1)

et pour wt = A+Pi/2 ---> on a Rho = b

alpha².cos²(A+Pi/2+Phi) + Beta².cos²(A+Pi/2+Psi) = b²

alpha².sin²(A+Phi) + Beta².sin²(A+Psi) = b² (2)

(1) + (2) --->  alpha² + Beta² = a² + b² (3)
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c² = a² - b² (avec c l'abscisse de F (un foyer de l'ellipse))
F(V(a²-b²) ; 0)

MF² = (2a)² = 4a²

(alpha.cos(wt+Phi) - V(a²-b²))² + (Beta.cos(wt+Psi))² = 4a²

alpha².cos²(wt+Phi) + a² - b² - 2.alpha.cos(wt+Phi).V(a²-b²) + Beta².cos²(wt+Psi) = 4a² ... pour tout t  (4)
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M(alpha.cos(wt+Phi) ; Beta.cos(wt+Psi))
Pour wt+Phi = 3Pi/2 --> M(0 ; Beta.cos(3Pi/2 - Phi + Psi))
M(0 ; Beta.sin(Psi-Phi))
et OM = b --> Beta.sin(Psi-Phi) = b (5)

Pour wt+Psi = 3Pi/2 --> M(0 ; Beta.cos(3Pi/2 - Phi + Psi))
M(alpha.cos(3Pi/2-Psi+Phi) ; 0)
et OM = a --> alpha.cos(3Pi/2-Psi+Phi) = a
alpha.sin(Phi-Psi) = a (6)

(5)²+(6)² -->
Beta².sin²(Psi-Phi) + alpha².sin²(Phi-Psi) = a²+b²
(Beta²+alpha²).sin²(Psi-Phi) = a²+b²
et avec (3) --> sin²(Psi-Phi) = 1
|Psi-Phi| = Pi/2 + 2k.Pi (avec k dans N)
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alpha = a
Beta = b
|Psi-Phi| = Pi/2 + 2k.Pi (avec k dans N)

Sous les réserves mentionnées au début.
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Sauf distraction.