Niveau iut

Mécanique ( moment d'inertie )

Posté par
LoicA 26-03-16 à 19:30

Bonjour,

lors du calcul du moment d'inertie d'un cylindre de rayon r et de hauteur e et de masse M,
le calcul suivant de mon cours donne :

$dIz = r²dm = r²\rho .2\pi dr.e\Rightarrow Iz=2\pi \rho e\int_{0}^{r}{r^3dr}=\pi e \rho \frac{r^4}{2}=M\frac{r²}{2}$

en sachant que : $dm=\rho dv$ et $M= \rho \pi r²e$

bref en cherchant par moi même j'ai exprimer le dv autrement mais le résultat final n'est pas le même :/

$dIz=r²dm=r²\rho dV=r²\rho .\pi r²dh\Rightarrow Iz=r^4 \rho \pi \int_{0}^{e}{dh}=r^4\rho \pi e=Mr²$

quelqu'un pourrait m'expliquer mon erreur de raisonnement, je me sens un peu bête sur une application aussi simple ^^

Posté par re : Mécanique ( moment d'inertie ) 26-03-16 à 22:46

Bonsoir :
Je reprends ta dernière ligne.
Quand tu écris : $dI_{z}=r^{2}\cdot\rho dV$ , tu supposes que la masse $\rho dV=dm$ est entièrement située à la distance r de l'axe Oz.
Pour remplacer dm par $\rho\pi r^{2}dh$ il faudrait donc que cette masse soit entièrement située à la distance r de l'axe Oz mais cela est faux puisqu'il s'agit de la masse d'un cylindre homogène de rayon r et de hauteur élémentaire dh.

Imagine au contraire un cylindre creux de masse totale M, de rayon intérieur R₁, de rayon extérieur R₂ avec R₂ de très peu supérieur à R₁ : $R_{2}-R_{1}\ll R_{1}$ . On peut en bonne approximation considérer que toute la matière est localisée à la distance $R=\frac{1}{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)$ . Dans ce cas, on obtient en bonne approximation : $I_{z}=M\cdot R^{2}$ .

Posté par re : Mécanique ( moment d'inertie ) 27-03-16 à 10:53

Je n'aime pas du tout l'écriture donnée qui amène à la "bonne réponse", soit :

$dIz = r²dm = r²\rho .2\pi dr.e\Rightarrow Iz=2\pi \rho e\int_{0}^{r}{r^3dr}=\pi e \rho \frac{r^4}{2}=M\frac{r²}{2}$

Utiliser la même lettre comme variable d'intégration et comme borne de l'intégrale est la meilleure manière de se planter.

J'aurais fait cela jadis, je me serait fait trucider par mon prof.

Après avoir défini "r" comme rayon du cylindre plein homogène, écrire $dIz = r²dm$ est un non sens.

C'est mon avis ... et je le partage.

Posté par re : Mécanique ( moment d'inertie ) 27-03-16 à 10:54

Et zut pour mon orthographe.

Posté par re : Mécanique ( moment d'inertie ) 27-03-16 à 10:59

Merci pour vos réponses, sa me permet de voire un peu plus claire !
J-P je partage ton avis, je pense refaire toutes les exemples de mon cours en changeant les noms des variables.

Allez, bon week-end à tous et encore merci !

Posté par re : Mécanique ( moment d'inertie ) 27-03-16 à 11:59

Bonjour
Beaucoup mieux :
$dIz = r²dm = r²\rho .2\pi dr.e\Rightarrow Iz=2\pi \rho e\int_{0}^{R}{r^3dr}=\pi e \rho \frac{R^4}{2}=M\frac{R²}{2}$

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