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Mécanique du solide: Cinétique

Posté par
CloudNine 15-04-18 à 02:03

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas.

Soit le repère R_0(O,\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0}) lié au support fixe (0) d'un bras de robot. Le solide (1) est en rotation par rapport à (0), autour de l'axe (O,\vec{z_0}), ce mouvement est paramétré par l'angle \psi. Le repère R_1(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1}) est lié au solide (1). On note que \vec{z_1}=\vec{z_0}. Le solide (2) est en translation par rapport à (1) dans la direction \vec{x_1}. Le repère R_2(B,\vec{x_2},\vec{y_2},\vec{z_2}) est lié au solide (2). On note que \vec{x_1}=\vec{x_2}, \vec{y_1}=\vec{y_2}, \vec{z_1}=\vec{z_2}.
Données utiles: \vec{OA}=-a\vec{z_0} , \vec{AB}=x(t)\vec{x_1}, \vec{BC}=b\vec{z_0}
(x(t): variable, a et b: constantes)

Mécanique du solide: Cinétique

1.Représenter la figure plane (paramètre \psi).
Réussi

2.Exprimer le vecteur position \vec{OC} en fonction de \vec{x_1} et \vec{z_0}.
D'après la relation de Chasles, on a:
\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC}  = -a\vec{z_0} + x(t)\vec{x_1} - b\vec{z_0} = (-a - b).\vec{z_0} + x(t)\vec{x_1}

3.Déterminer \overrightarrow{V_{A(R_{1}/R_{0})}} par la loi de distribution des vitesses.
\overrightarrow{V_{A(R_{1}/R_{0})}}=\overrightarrow{V_{0(R_{1}/R_{0})}}+ \overrightarrow{\Omega_{(R_{1}/R_{0})}}  \wedge \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}

4.Déterminer \overrightarrow{V_{B(R_{2}/R_{1})}} par dérivation d'un vecteur position.
\overrightarrow{V_{B(R_{2}/R_{1})}}= \frac{d(\overrightarrow{AB})}{dt{/R}} = 0
Car ici, on a une translation \overrightarrow{\Omega_{R_2}/{R_1}}=0

5.Déterminer \overrightarrow{V_{B(R_{2}/R_{0})}} par la loi de compositions des vitesses.
6.Déterminer \overrightarrow{V_{C(R_{2}/R_{1})}} par la loi de distribution des vitesses.
\overrightarrow{V_{C(R_{2}/R_{1})}}  = \vec{0}
Car translation \overrightarrow{\Omega_{R_2}/{R_1}}=0

7.Déterminer \overrightarrow{V_{C(R_{2}/R_{0})}} par la loi de compositions des vitesses.

Je suis bloqué pour les autres questions pour déterminer les vecteur de taux de rotation.

Merci d'avance pour vos aides,

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 15-04-18 à 09:19

bonjour
4) attention, il y a translation de (2) par rapport à (1) donc \vec{AB} depend de t
(translation ne signifie pas vitesse nulle, mais rotation nulle!)

Posté par
CloudNinere : Mécanique du solide: Cinétique 15-04-18 à 11:14

Bonjour krinn,
Merci pour votre réponse.
\frac{d\overrightarrow{AB}}{dt_{/R_1}}= x(t).\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt_{/R_1}}= x(t).\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt_{/R_1}}+\overrightarrow{\Omega_{R_2/R1}} \wedge \overrightarrow{x_1}
Or, \overrightarrow{\Omega_{R_2/R1}} = 0 (car il y a une translate de (2) par rapport à (1).
Et, \frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt_{/R_1}}=0 (car fixe au repère R_1)

Est-ce bien ça ?
Merci d'avance,

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 15-04-18 à 15:44

il manque un terme dans la dérivée:
dx/dt x1
et ce terme nest pas nul si la vitesse de translation nest pas nulle
(il est clair que la vitesse de B nest pas nulle dans R1)

Posté par
CloudNinere : Mécanique du solide: Cinétique 15-04-18 à 20:21

Merci pour votre aides.
Comment utilise-t-on la loi de compositions des vitesses ?

Merci,

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 15-04-18 à 21:12

En disant par ex dans la question 5)
B(R2/R0)= B(R2/R1) + B(R1/RO)

Posté par
CloudNinere : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 14:49

Merci beaucoup pour vos aides !

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 16:25

récapitulons:

4) B(R2/R1) = dx/dt x1
5 ) B(R2/R0) = dx/dt x1 + x d/dt y1

6) on peut remarquer que BC est un vecteur constant donc...

(vecteurs en gras)

sauf erreur

Posté par
CloudNinere : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 16:40

Bonjour Krinn,
Merci pour vos aides.
J'ai une question s'il vous plait.
Dans quel cas utilise-t-on ces formules de la base mobile ?
1) \frac{dU}{dt_{R_0}}=\Omega_{S/R_0} \wedge \vec{u}
et
2) \frac{d \vec{v}}{dt_{R_0}}=\frac{d \vec{v}}{dt_{R_1}} + \Omega_{S/R_0} \wedge \vec{v}

Merci,

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 16:59

c'est R1/Ro dans la formule

en fait c'est la meme formule.
La 1) est la version simplifiée de 2) quand le vecteur est constant dans R1

Posté par
CloudNinere : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 17:28

Merci pour votre réponse.
Est-ce qu'un vecteur constant signifie qu'il est fixe dans le référentiel ?

Posté par
krinn Correcteurre : Mécanique du solide: Cinétique 17-04-18 à 17:38

un vecteur constant dans R est un vecteur dont les composantes dans R sont constantes

ici par ex.
z0 est constant dans Ro ( c'est le vecteur (0,0,1) )
et x1 ne l'est pas car ses composantes dans Ro (cos , sin ,0) dependent du temps

en revanche x1 est constant dans R1 ( c'est le vecteur (1,0,0) )


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