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mecanique du solide

Posté par
webform 18-03-18 à 12:27

Bonjour,

je suis en info et je m'intersse pas mal a la meca solide.
je trouve ca interessant et je me suis entrainé sur pas mal d'exos corrigés.
j'ai trouvé celui ci qui est un peu plus délicat pour mon "niveau" et j'aurais aimé de l'aide.
j'ai commencé un peu mais je n'y arrive pas ...
pouvez vous m'aider svp ? (j'aimerais le terminer ajd pour avancer encore plus loin car cette semaine je vais etre occuper dans ma programmation)

mecanique du solide

***Image recadrée => un énoncé doit être recopié***

Posté par
webformre : mecanique du solide 18-03-18 à 20:21

j'ai montré que V est equiprojectif.
aidez moi a trouver son vecteur rotation svp

***Lien supprimé***

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 07:01

personne pour aider svp?

Posté par
vanoisere : mecanique du solide 19-03-18 à 11:49

Bonjour
Mais tu as fait le plus difficile ! Soient M et N deux points quelconques du solide. Tu viens de démontrer :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(N)}}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}\right)\wedge\overrightarrow{NM}

Or, le vecteur rotation instantané doit vérifier à chaque instant :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(N)}}+\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{NM}

L'identification est immédiate.

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 11:56

Ok j'avais un doute, merci
Et donc pour pour calculer le vecteur V(C) j'ai commencé quelque chose mais je suis pas chez moi, je vous le montrer rentrant .
Merci beaucoup en tout cas
Après j'aurais encore 2 petites questions si ça ne vous dérange pas
Je poste ça tout à l'heure

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 13:25

vanoise @ 19-03-2018 à 11:49

Bonjour
Mais tu as fait le plus difficile ! Soient M et N deux points quelconques du solide. Tu viens de démontrer :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(N)}}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}\right)\wedge\overrightarrow{NM}

Or, le vecteur rotation instantané doit vérifier à chaque instant :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(N)}}+\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{NM}

L'identification est immédiate.


le produit vectoriel du vecteur rotation par le vecteur position OM d'un point M quelconque donne le vecteur vitesse du point M, je peux donc trouver la vitesse du point A
v(A) = -(OB + OC)

c'est bien cela pour la vitesse?

ensuite, je dois determiner l'axe intantané de rotation et de glissement. je fais comment svp?

Posté par
vanoisere : mecanique du solide 19-03-18 à 16:12

Citation :
v(A) = -(OB + OC) . c'est bien cela pour la vitesse?

Je ne pense pas. Si O est l'origine du repère dans lequel tu étudies le mouvement du cube, ce point est par hypothèse de vitesse nulle. En appliquant la relation précédente au cas particulier d'un point N confondu avec O, on obtient :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}\quad\text{et aussi : \ensuremath{\overrightarrow{V_{(A)}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OA}}}

Il est cependant plus simple d'obtenir la vitesse de A en partant de l'expression générale fournie par l'énoncé dans le cas particulier de M confondu avec A :

\overrightarrow{V_{(A)}}=\overrightarrow{AB'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{AD'}\wedge\overrightarrow{D'D}

Pour la suite, il est intéressant de remarquer que le vecteur rotation instantané obtenu précédemment est colinéaire à la diagonale (A'C) et qu'ainsi, très logiquement :

\overrightarrow{V_{(A')}}=\overrightarrow{V_{(C)}}=...

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 16:16

Je fini mon sport et en rentrant je te donne ça
Merci, je vois où je dois aller
J'espère que tu seras encore là pour me corriger si j'ai faux

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 21:11

vanoise @ 19-03-2018 à 16:12

Citation :
v(A) = -(OB + OC) . c'est bien cela pour la vitesse?

Je ne pense pas. Si O est l'origine du repère dans lequel tu étudies le mouvement du cube, ce point est par hypothèse de vitesse nulle. En appliquant la relation précédente au cas particulier d'un point N confondu avec O, on obtient :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}\quad\text{et aussi : \ensuremath{\overrightarrow{V_{(A)}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OA}}}

Il est cependant plus simple d'obtenir la vitesse de A en partant de l'expression générale fournie par l'énoncé dans le cas particulier de M confondu avec A :

\overrightarrow{V_{(A)}}=\overrightarrow{AB'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{AD'}\wedge\overrightarrow{D'D}

Pour la suite, il est intéressant de remarquer que le vecteur rotation instantané obtenu précédemment est colinéaire à la diagonale (A'C) et qu'ainsi, très logiquement :

\overrightarrow{V_{(A')}}=\overrightarrow{V_{(C)}}=...


okok merci

je vais voir ca.

et pour determiner l'axe intantané de rotation et de glissement. je fais comment svp?

Posté par
vanoisere : mecanique du solide 19-03-18 à 21:15

Revois bien la définition de l'axe instantané de rotation et ses propriétés. Tu constateras que je t'ai fourni la réponse dans mon message précédent.

Posté par
webformre : mecanique du solide 19-03-18 à 22:55

vanoise @ 19-03-2018 à 21:15

Revois bien la définition de l'axe instantané de rotation et ses propriétés. Tu constateras que je t'ai fourni la réponse dans mon message précédent.


je n'ai pas tres bien compris cette partis du cour :/

et je ne vois pas non plus comment calculer la vitesse de glissement dans ce cas precis du cube
j'ai un blocage...

Posté par
vanoisere : mecanique du solide 20-03-18 à 11:47

Bonjour
Remarque préliminaire concernant l'énoncé que j'aurais dû faire dès mon premier message. Cet exercice a l'intérêt de faire réfléchir sur les propriétés des champs de vitesses des solides mais a sans doute été rédigé par un mathématicien ou alors par un physicien il y a très longtemps, à une époque où on accordait peu d'importance à l'homogénéité des formules. Car tout de même : telle que la vitesse est définie, on est amené à penser qu'une vitesse est homogène à l'aire d'une surface ! Il aurait été plus correct de poser :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\alpha\cdot\left(\overrightarrow{MA}\wedge\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{MD'}\wedge\overrightarrow{D'D}\right)

avec \alpha : constante que l'on peut choisir égale à 1m^{-1}s^{-1}. Contrôler l'homogénéité des résultats littéraux aux cours d'un problème permet souvent d'éviter de grosses erreurs mais cela est évidemment impossible ici... Mais passons !
Nous sommes arrivés lors des messages précédents à :

\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}

Puisque le solide est un cube :

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\quad;\quad\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{C'C}

\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{A'C}

On peut donc choisir comme axe instantané de rotation la diagonale (A'C). La vitesse d'un point M quelconque appartenant au cube peut s'écrire :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(A')}}+\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{A'M}=\overrightarrow{V_{(A')}}+\overrightarrow{A'C}\wedge\overrightarrow{A'M}

Il résulte de cette formule que tous les points de l'axe instantané de rotation ont le même vecteur vitesse. On peut considérer le champ de vitesse comme la superposition de deux champs : un champ correspondant à un mouvement de translation (de glissement) à la vitesse \overrightarrow{V_{(A')}} et un champ correspondant à une rotation autour de la diagonale (A'C) à la vitesse angulaire \Omega.

\overrightarrow{V_{(A')}}=\left(\overrightarrow{A'A}\wedge\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'B'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{A'D'}\wedge\overrightarrow{D'D}\right)=a.\overrightarrow{CA'}
Je te laisse démontrer ce dernier résultat.

Posté par
webformre : mecanique du solide 20-03-18 à 12:34

vanoisevanoisevanoise

vanoise @ 20-03-2018 à 11:47

Bonjour
Remarque préliminaire concernant l'énoncé que j'aurais dû faire dès mon premier message. Cet exercice a l'intérêt de faire réfléchir sur les propriétés des champs de vitesses des solides mais a sans doute été rédigé par un mathématicien ou alors par un physicien il y a très longtemps, à une époque où on accordait peu d'importance à l'homogénéité des formules. Car tout de même : telle que la vitesse est définie, on est amené à penser qu'une vitesse est homogène à l'aire d'une surface ! Il aurait été plus correct de poser :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\alpha\cdot\left(\overrightarrow{MA}\wedge\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{MD'}\wedge\overrightarrow{D'D}\right)

avec \alpha : constante que l'on peut choisir égale à 1m^{-1}s^{-1}. Contrôler l'homogénéité des résultats littéraux aux cours d'un problème permet souvent d'éviter de grosses erreurs mais cela est évidemment impossible ici... Mais passons !
Nous sommes arrivés lors des messages précédents à :

\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}

Puisque le solide est un cube :

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\quad;\quad\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{C'C}

\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{A'C}

On peut donc choisir comme axe instantané de rotation la diagonale (A'C). La vitesse d'un point M quelconque appartenant au cube peut s'écrire :

\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{V_{(A')}}+\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{A'M}=\overrightarrow{V_{(A')}}+\overrightarrow{A'C}\wedge\overrightarrow{A'M}

Il résulte de cette formule que tous les points de l'axe instantané de rotation ont le même vecteur vitesse. On peut considérer le champ de vitesse comme la superposition de deux champs : un champ correspondant à un mouvement de translation (de glissement) à la vitesse \overrightarrow{V_{(A')}} et un champ correspondant à une rotation autour de la diagonale (A'C) à la vitesse angulaire \Omega.

\overrightarrow{V_{(A')}}=\left(\overrightarrow{A'A}\wedge\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'B'}\wedge\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{A'D'}\wedge\overrightarrow{D'D}\right)=a.\overrightarrow{CA'}
Je te laisse démontrer ce dernier résultat.


Je m'y colle des se soir en rentrant en deux révisions
Et on peut en déduire sans calcul V(0) du coup non ?

Posté par
vanoisere : mecanique du solide 20-03-18 à 13:25

Relis bien mon message du   19-03-18 à 16:12 : pour moi, O est l'origine du repère d'étude. C'est donc par hypothèse un point de vitesse nulle dans ce repère d'étude. Ce point n'appartient pas a priori au cube. Je l'ai introduit histoire de te remettre en mémoire des formules classiques du cours mais il ne joue pas de rôle important dans cet exercice.


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