Niveau licence

Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation

Posté par
BeHappy13 23-01-17 à 21:09

Bonsoir,

J'ai besoin d'un coup de main pour démarrer mon exercice de mécanique niveau L1/L2 !

Bon, voici l'énnoncé :

La résistance d'un fluide sur le mouvement d'un corps dépend de plusieurs facteurs comme ses dimensions, sa forme, sa vitesse, sa densité, et la température du fluide. Pour des corps sphériques de petites tailles, on peut montrer que la force exercée par le fluide sur une bille sphérique se met sous la forme :

Cf.Image 1

où :
-n est la viscosité dynamique caractéristique du fluide
-r le rayon de la sphère
- $\vec{v} {B/R}$ la vitesse de la bille si celle-ci se déplace dans un fluide au repos dans le référentiel R.

La première question étant :
En tenant compte de la poussée d'Archimède sur la sphère, et de son poids, montrer que la vitesse verticale $\vec{v}{B/R(t)}$ de la sphère est solution d'une équation du type :

Cf.Image 2

où on déterminera les constantes et en fonction de r, n, g, et des masses volumiques de la bille et du fluide.

Donc voila, désolé pour les formules, je suis pas bon en LaTeX...

Donc, je suis partis sur un PFD, avec le poids et la poussée d'Archimède, afin d'avoir quelque chose sous la forme suivante, sachant de p est le Poids, et Pa la poussée d'Archimède !
$\vec{F}$ = $\vec{p}$ + $\vec{Pa}$ = m* $\vec{a}$ . Et donc retomber sur la dérivée de ma vitesse. J'ai donc mes forces en fonction des volumes, des masses volumiques etc...
Sauf qu'à ce stade, je ne sais plus quoi faire !

Donc, si quelqu'un pourrait m'éclairer, déjà, me donner son avis sur le début, et peut-être une idée pour avancer ! Merci beaucoup !!

Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation

Posté par re : Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation 23-01-17 à 22:59

Bonsoir
Un peu d'aide pour commencer et je te laisserai finir tout seul...
Remarque préliminaire, une fois précisé que le système étudié est la bille B et que le repère d'étude est un repère (R) galiléen, je vais simplement noter $\overrightarrow{v}$ le vecteur vitesse de B dans (R).
La masse de la bille est le produit de la masse volumique $\rho$ de celle-ci par son volume V :

$m=\frac{4}{3}\rho.\pi.r^{3}$
Le poids de la bille est :

$\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}=\frac{4}{3}\rho.\pi.r^{3}.\overrightarrow{g}$
La poussée d'Archimède est l'opposé du poids d'un volume V d'eau de masse volumique $\rho_{e}$ :

$\overrightarrow{P_{a}}=-\frac{4}{3}\rho_{e}.\pi.r^{3}.\overrightarrow{g}$
La force de frottement exercée par l'eau sur la bille est :

$\overrightarrow{F}=-6\pi.\eta.r.\overrightarrow{v}$
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

$m.\overrightarrow{a}=\frac{4}{3}\rho.\pi.r^{3}\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{P_{a}}+\overrightarrow{F}=-6\pi.\eta.r.\overrightarrow{v}+\frac{4}{3}\left(\rho-\rho_{e}\right).\pi.r^{3}.\overrightarrow{g}$
Lors d'un mouvement de la bille vertical descendant, tous les vecteurs sont colinéaires. Je te laisse projeter la relation vectorielle sur un axe vertical orienté vers le bas. Après simplifications, tu vas obtenir l'expression recherchée.
Je te laisse réfléchir à tout cela et avancer tout seul... Pose d'autres questions si tu bloques quelque part !

Posté par re : Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation 24-01-17 à 00:17

Bonsoir,

Merci de votre aide rapide !
Donc, si j'ai bien compris, en partant de mon PFD, je projète donc mes vecteurs v et g, sur un axe ? Pour faire simple, je prend donc un axe Oz, vertical orienté (+) vers le haut.

Mais, en reprenant l'expression qu'on a vu précedemment, j'ai,

=> 4/3r^3 (bille-flu) *g * $\vec{-ez}$
Vu que le poids est orienté en $\vec{-ez}$ , et la poussée d'archimède s'y oppose, donc $\vec{ez}$ , donc ca marche bien là.

=> -6rv* $\vec{ez}$
Donc là, c'est une force de résistance, qui s'oppose à la chute dans le fluide, donc orienté dans le même sens que la poussée d'Archimède, vers le haut.

En re-sommant les deux termes et en arrangeant ca, j'ai donc, mon PFD égal à

[-4/3**r^3*(bille - flu) - 6***r*v ] * $\vec{ez}$ .

Mais bon, j'ai fait ca sans aucune conviction et sans vraiment comprendre l'intérrêt de la manip...

Si je continue, je divise le tout par $mbille$ , pour avoir l'accélération d'un coté et tout les autres coefficients de le l'autre. En identifiant, je pourrais bien trouver et, mais bon, je suis pas convaincu de mon truc...

Donc, ai-je fait une boulette sur la projection ? Ou bien autre chose ?..

En tout cas, merci de votre aide.

Posté par re : Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation 24-01-17 à 11:38

Le mouvement de la bille est vertical vers le bas ; il est donc plus simple de projeter sur un axe vertical orienté vers le bas. Ainsi les vecteurs accélération, vitesse et intensité de la pesanteur sont tous les trois orientés dans le sens de ton vecteur unitaire $\vec{e_z}$ . La relation vectorielle déjà écrite conduit à :

$\frac{4}{3}\rho.\pi.r^{3}\cdot\frac{dv}{dt}=-6\pi.\eta.r.v+\frac{4}{3}\left(\rho-\rho_{e}\right).\pi.r^{3}.g$
Après simplification :

$\frac{dv}{dt}=\dot{v}=-\frac{9\eta}{2\rho.r^{2}}\cdot v+\frac{\rho-\rho_{e}}{\rho}\cdot g$
Tu n'as plus qu'à identifier...
Je te laisse continuer...

Posté par re : Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation 27-01-17 à 23:28

Bonsoir,

En effet, j'ai poursuivi mon calcul en gardant mon axe vers le haut, par habitude...
Et je retombe bien sur cela !

J'ai pas pensé à remplacer ma valeur de $mbille$ , c'est pour ça que ca coinçait... !
Et aprés pour l'identification rien de compliqué, en effet, je sais pas ou j'avais la tête ! :s

Je me lance pas dans l'expression LaTeX, je comprend rien, ca s'affiche pas comme sur mon éditeur ><

Ca fait un truc du genre :
= 9* / $2r^2$ bille
= g* ((flu/bille)-1)

Voila, merci beaucoup pour cette aide ! Ca m'a remis en jambe pour la suite !

Bonne soirée

Posté par re : Mécanique du Point, Vitesse de sédimentation 28-01-17 à 10:56

Bonjour
OK pour la valeur de . En revanche, si l'axe (Oz) est orienté vers le bas, ce qui me semble le plus logique dans le contexte de ce problème, est positif compte tenu de mon message du 24-01-17 à 11:38

$\beta=\frac{\rho-\rho_{e}}{\rho}\cdot g=(1-\frac{\rho_e}{\rho})\cdot g$

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