Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau licence
Partager :

Mécanique du point

Posté par
Lantean
24-01-21 à 18:22

Bonjour à tous,

Je rencontre quelques problèmes pour résoudre un exercice.

SUJET
Une glissière est constituée d'une partie rectiligne AB et d'un arc de cercle BC de centre O et de rayon a. (l'arc est dans le prolongement du plan incliné) Un solide ponctuel est lâché du point A sans vitesse initiale. Les frottements sont négligeables.

1) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique exprimer la vitesse v au point M repéré par ses coordonnées polaires (a, \phi).
2) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et déterminer l'expression de la
réaction R exercée par la glissière sur le mobile au point M.
3) Montrer que le mobile quitte la glissière en un point D de coordonnées (a, \phi_1).
4) Calculer alors la valeur numérique de \phi_1 ainsi que le module de la vitesse du mobile en D.
Données numériques : AB = 1 m, a = 2 m,\phi_0= 60°, \alpha = 30°, g = 9,81 m.s-2
Vous trouverez une image de la figure ci-dessous.


MES RÉPONSES

1) D'après le T.E.C, W_{A\rightarrow M}(\vec{P})= 1/2mv_M²
Après de nombreuses tentatives, je n'ai pu calculer le travail en utilisant le repère de Frenet, je crois que tout bloque ici.

2) D'après le PFD \vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}.
Dans le repère de Frenet on a : mgsin\phi + R_n = mav_M²
D'où : R_n = mav_M² - mgsin\phi

3) et 4) J'ai l'idée d'utiliser le fait que le mobile est en contact tant que Rn > 0, donc de résoudre l'inéquation, mais sans le travail impossible de tenter cette approche.

Je crois donc que tout vient du travail, mais le reste du raisonnement me paraît incomplet. C'est pourquoi je demande votre aide pour m'aiguiller vers les bonnes réponses.

Merci de prendre du temps pour moi,

Lantean

Mécanique du point

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 24-01-21 à 18:25

Bonjour
Il te faut déterminer la variation d'altitude entre A et B puis entre B et M. Un peu de trigonométrie... Je te laisse réfléchir.

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 24-01-21 à 18:34

Pour la question 2 : tu peux exprimer les composantes normale et tangentielle de l'accélération ? Attention à ne pas confondre l'accélération \vec a et la distance a= OM.

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 24-01-21 à 18:49

Donc sans utiliser le théorème de l'énergie cinétique ?

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 24-01-21 à 18:54

Citation :
Donc sans utiliser le théorème de l'énergie cinétique ?

Bien sûr que si mais l'expression du travail du poids fait intervenir la dénivellation entre le point A et le point M ; d'où l'intérêt de mon message de 18h25.

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 11:33

Bonjour,

J'ai pu déduire de l'expression du travail que v_M²=2g(z_a-z_m).
Donc, en injectant dans l'inéquation Rn>0, je trouve (après les calculs) que :

\phi=arcsin(\frac{asin\phi_0 +ABsin\alpha}{1/(2a)+a})

Mais application numérique faite, j'obtiens environ 82°C.
J'ai également exprimé l'accélération tangentielle mais R n'ayant pas de composantes tangentielle je ne sais pas quoi en faire.

Cela dit vos réponses m'ont permis de faire de net progrès, merci à vous

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 12:24

Il faut réfléchir au réalisme des résultats : la valeur de correspondant au point M où le solide quitte la glissière est nécessairement inférieure à 60° ! De plus, il ne s'agit pas de degrés Celsius !
1° : Quelle est l'expression de (zA - zM) ?
2° : Quelle est l'expression de l'accélération normale de M sur la partie circulaire de la trajectoire ?
3° : Quelle est l'expression de RN ?
Après avoir répondu à ces questions, tu pourras déterminer la valeur de lorsque M quitte la glissière

Citation :
J'ai également exprimé l'accélération tangentielle mais R n'ayant pas de composantes tangentielle je ne sais pas quoi en faire.

Cette expression ne semble pas demandée. Elle n'est pas nulle dans la mesure où le poids possède une composante tangentielle.

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 12:35

Degré Celsius j'ai peu dormi...

D'après mes calculs

z_a-z_b=asin\phi_0+ABsin\alpha -asin\phi

a_n= mav_n² (a étant l'inverse du rayon de courbure)

R_n=mav_n²-mgsin\phi

Je ne vois pas mon erreur, mais je suis persuadé que c'est tout bête...

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 12:49

Citation :
a_n= mav_n²  

Non :
a_n= \frac{v^2}{a} (tu commets tout de même deux grosses erreurs dans la même formule !). Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire.
Citation :
R_n=mav_n²-mgsin\phi

Formule à revoir en tenant compte de la correction précédente. Attention aussi aux signes...

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 13:41

En prenant en compte vos corrections, je trouve un angle de 24° environ.

Effectivement la masse n'apparaît pas, mais il ne s'agissait que d'une erreur de recopiage.
Par contre je croyais que dans l'expression de l'accélération normale, c'est à dire a_n=v²/r, r était égal au rayon de courbure. Qu'en pensez-vous ?

L'expression de la réaction devrait maintenant être :

R_n=mv²/a-mgsin\phi

J'ai un petit doute sur le signe du second membre mais ça fait une solution dans les complexes si je mets un + donc nouvelle interrogation de ma part.

Merci de votre aide, je crois qu'on y est presque

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 13:57

Citation :
Par contre je croyais que dans l'expression de l'accélération normale, c'est à dire a_n=v²/r, r était égal au rayon de courbure. Qu'en pensez-vous ?

C'est bien cela avec ici : r= a (distance OM : utiliser la même lettre pour désigner l'accélération et le rayon de courbure n'est pas une très bonne idée...)
Citation :
R_n=mv²/a-mgsin\phi

Tu as un problème de signe. Tu peux éventuellement poster un scan de la figure où tu auras représenté les différents vecteurs ?

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 14:27

Citation :
C'est bien cela avec ici : r= a (distance OM : utiliser la même lettre pour désigner l'accélération et le rayon de courbure n'est pas une très bonne idée...)


Je vous le fais pas dire, mais OM est le rayon et pas le rayon de courbure, c'est de là que vient mon interrogation.

Citation :

Tu as un problème de signe. Tu peux éventuellement poster un scan de la figure où tu auras représenté les différents vecteurs ?


Je sais pas si c'est très net mais voilà. Autre chose : je n'utilise à aucun moment g. Je pense néanmoins que l'angle ne dépend pas de g.

Mécanique du point

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 14:54

Le vecteur accélération normale est orienté comment  ? Et le vecteur accélération tangentielle  ?

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 15:01

Le vecteur accélération normale est orienté vers le centre comme le vecteur unitaire.
Accélération tangentielle est orienté de manière orthonormale au vecteur accélération normale  "vers la droite".

Je sens que vous essayez de me faire voir quelque chose mais je dois être aveugle

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 15:07

Projete la relation fondamentale de la dynamique sur un axe orienté de M vers O.
Dans le cas d'un mouvement circulaire, rayon de courbure et rayon de la trajectoire sont deux valeurs égales.

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 15:13

Effectivement je voyais pas les choses sous cet angle.
Mais je n'arrive pas à résoudre mon problème de signe, je ne vois pas d'où il vient..

Posté par
vanoise
re : Mécanique du point 25-01-21 à 15:18

En projetant sur un axe orienté de M vers O, sachant que l'accélération normale est centripète :

m\cdot\frac{v^{2}}{a}=m.g.\sin\left(\varphi\right)-R_{n}

Car la réaction de la glissière est centrifuge. Donc :

R_{n}=m.g.\sin\left(\varphi\right)-m\cdot\frac{v^{2}}{a}

Il y avait bien un problème de signe dans tes messages précédents.

Posté par
Lantean
re : Mécanique du point 25-01-21 à 15:26

Ah oui je viens de le voir !

Bon  je crois que l'exercice est résolu. Je te remercie pour ton aide et ta patience, tu m'ôtes une sacrée épine du pied.



Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2024

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !