Niveau maths spé

Mécanique 6

Posté par
Flewer47 31-07-16 à 14:59

Bonjour,

Voici un nouvel exercice :
On considère un point matériel $M$ , de masse $m$ , que l'on lâche sans vitesse initiale sur un boulier hélicoïdal d'axe $Oz$ .
La trajectoire de $M$ est $x=R\cos (\theta), y=R\sin (\theta), z=h\theta$ .
On suppose qu'il n'y a pas de frottements.
1) Calculer le temps mis par $M$ pour aller de $z=5h$ à $z=0$ . On donne $\int_0^5 \frac{dx}{\sqrt{5-x}} = 2\sqrt{5}$ .
2) Calculer la réaction $F$ du support sur $M$ .

Pour la 1), je n'ai pas eu besoin d'utiliser la valeur de l'intégrale : la conservation de l'énergie mécanique puis une double intégration permet d'obtenir $\theta (t)$ , puis $z(t)$ . Je trouve $t=\sqrt{\frac{10(h^2+R^2)}{gh}}$ .

Je voudrais bien savoir quelle méthode est nécessaire pour utiliser l'intégrale donnée.

Pour la 2), s'il n'y a pas de frottements, la réaction du support est selon $\vec{u_r}$ si on passe en polaire. Je voudrais bien utiliser la RFD, mais je n'arrive pas à projeter correctement..

Posté par re : Mécanique 6 01-08-16 à 00:34

La méthode avec l'intégrale est très certainement due à une séparation des variables après avoir travailler en polaire.

Pour la 2), j'ai du mal à paramétrer la chose..

Posté par re : Mécanique 6 01-08-16 à 16:34

Bonjour
J'ai travaillé en coordonnées cylindro-polaires (ou cylindrique) en utilisant la base locale (Ur,U,Uz). Le théorème de l'énergie-puissance conduit effectivement à $\ddot{z}=Cst$ et $\ddot{\theta}=Cst$ . Par intégration j'obtiens la même chose que toi. Je ne comprends pas l'intérêt pour ces questions de l'intégrale fournie ; mais parfois : les exos ne sont que des extraits de problèmes plus longs. Cette intégrale était peut-être utile dans d'autres questions...
En absence de frottement, la puissance instantanée de la réaction de vecteur F est nulle à chaque instant, ce qui se traduit par : $\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{0}\quad\forall t$ , ce qui te donne la direction du vecteur force.
Il te faut ensuite projeter la RFD suivant Ur en coordonnées cylindro-polaires ; puisque tu connais $\ddot{\theta}$ ...

Posté par re : Mécanique 6 01-08-16 à 18:40

La réaction du support est bien selon $u_r$ .
J'ai juste du mal à projeter, j'ai du mal à me le représenter..

Je vais essayer encore..

Posté par re : Mécanique 6 01-08-16 à 19:12

En coordonnées cylindro-polaires, dans le cas particulier r =R : constante :

$\overrightarrow{OM}=R\cdot\overrightarrow{u_{r}}+z\cdot\overrightarrow{u_{z}}$

$\overrightarrow{V_{(M)}}=R\cdot\dot{\theta}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}+\dot{z}\cdot\overrightarrow{u_{z}}=\dot{\theta}\cdot\left(R\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}+h\cdot\overrightarrow{u_{z}}\right)$
La puissance de la réaction étant identiquement nulle :

$\overrightarrow{F}=F\cdot\overrightarrow{u_{r}}.$ De plus : $\overrightarrow{P}=-m\cdot g\cdot\overrightarrow{u_{z}}.$
Par dérivation on obtient le vecteur accélération de M :

$\overrightarrow{a_{(M)}}=R\cdot\ddot{\theta}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}-R\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot\overrightarrow{u_{r}}+\ddot{z}\cdot\overrightarrow{u_{z}}=\ddot{\theta}\cdot\left(R\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}+h\cdot\overrightarrow{u_{z}}\right)-R\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot\overrightarrow{u_{r}}$
Je te laisse terminer... Voici un schéma illustrant les coordonnées cylindro-polaires dans le cas d'une source de champ à symétrie axiale. Tu peux facilement l'adapter à la situation de l'exercice.

Mécanique 6