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Mécanique 13
Bonsoir,
Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problème ce soir :
Le régulateur à boules de James Watt est un système permettant de réguler la vitesse
de rotation d'une machine à vapeur. On le modélise par le système suivant : on considère un losange dont les bras sont articulés sans frottements. Ce losange tourne avec une vitesse angulaire autour de l'axe
. Le ressort a une longueur à vide
et une constante de raideur
. Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse
, sont contraintes de se déplacer sur l'axe des
.
Discuter l'existence de positions d'équilibre et leurs stabilités.
J'ai trouvé pour les positions de stabilité, en notant l'angle fait entre une des diagonales du losange et un côté :
Pour ou pour
, valable lorsque
.
Pour étudier la stabilité, j'ai un expression assez horrible. Pour , ça se simplifie assez pour voir qu'il s'agit d'une position d'équilibre stable lorsque
.
Cependant, pour l'autre position, il s'agit d'un calcul que je trouve extrêmement lourd. Et avec ce que je fais, déterminer le signe n'est absolument pas aisé..
Avez-vous des astuces pour arriver à déterminer la stabilité dans ces cas-là ?
(Je peux vous poster l'expression de l'énergie potentielle dérivée 2 fois si vous le demandez)
Bonjour
Je ne vois pas de méthode plus simple que l'étude des variations de l'énergie potentielle en fonction de 
.
Quelle expression de l'énergie potentielle associée aux pseudo forces d'inertie utilises-tu ?
Tu n'as pas précisé l'état du régulateur correspondant à la longueur à vide du ressort... Suivant cette position, l'expression de Ep peut être plus ou moins compliquée...
Voici ce que j'ai :
.
Rien n'est indiqué dans le sujet, donc je fais tout de manière générale..
En dérivant, on obtient :
.
En considérant , on a pour les positions d'équilibre ce que j'ai écrit avant.
Plus je relis l'énoncé, plus je le trouve mal posé. La phrase suivante me parait très ambiguë :
Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse m, sont contraintes de se déplacer sur l'axe des x.
Il faut sûrement comprendre que l'axe des x tourne à la vitesse angulaire
autour de l'axe fixe Oz, les deux petites boules restant symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe Oz. En revanche, faut-il comprendre que son altitude H reste fixe comme tu l'as fait ?
Une réponse positive me paraît totalement irréaliste. Regarde bien ton schéma de gauche : c'est le sommet O du losange qui garde une altitude fixe. De plus choisir H variable ne complique pas le problème : cela conduit simplement à remplacer M par (M+m) dans l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur et à remplacer H par une constante C dans l'expression de l'énergie potentielle élastique du ressort. La situation pourrait se simplifier en imaginant que le ressort a sa longueur à vide dans la position
=0.
Ton expression de Ep est correcte s'il faut considérer H comme fixe. En revanche, quand tu dérives par rapport à
, la dérivée d/dt n'intervient pas.
Un conseil : s'il s'agit d'un exercice d'entraînement et non d'un "devoir" à rendre : modifie l'énoncé comme je te l'ai proposé pour le rendre à peu près réaliste et en accord avec le schéma de gauche...
Remarque : évidemment en pratique, les boules n'étant pas "ponctuelles", la position
=0 ne peut pas être atteinte exactement...Je pense que H reste fixe en réalité, et que c'est le point M qui bouge et qui détend le ressort ou non.
Une vidéo ici : 
.
En refaisant mes calculs, j'ai :
.
Pour , la position est stable lorsque
.
Pour l'autre position, cela me paraît encore bien compliqué..
Je pense que H reste fixe en réalité, et que c'est le point M qui bouge et qui détend le ressort ou non
Tu as raison pour le point M, tu as tord pour H s'il s'agit de modéliser le régulateur de Watt.
Regarde bien le schéma de gauche et en particulier les articulations entre les différentes tiges. Il est clair que le sommet O du losange est fixe et que , à la fois, l'altitude de M et celle des deux boules varient entraînant ainsi un changement de position de la fourchette.
Quel pourrait être sur le schéma de gauche, le dispositif qui maintiendrait les deux boules à altitude fixe ? Il faudrait imaginer une tige horizontale liée à l'axe de rotation sur laquelle coulisseraient les deux boules mais cette tige serait dans le même plan vertical que les tiges PM et P'M' : totalement irréalisable ! Sans compter que permettre aux deux boules de coulisser avec
variable sans trop de frottement...
L'énoncé, s'il est recopié en entier, ne précise nulle part que H est une constante. Je me demande si cette valeur n'a pas été introduite sur le schéma seulement pour faciliter l'obtention de l'expression de l'énergie potentielle... Reste alors en suspens l'état du ressort en
=0...
Cela dit : tu fais ce que tu veux !
Effectivement, vu comme ça..
Je vais mettre l'exercice en suspens, mais je vois ce qu'il faut changer dans ce cas, merci !
Fais comme tu veux ! Cet exercice est quand même intéressant : le régulateur de Watt constitue historiquement un des tous premiers dispositifs de régulation de vitesse. On le trouve encore dans certains moulins à vent restaurés et sur certaines machines à vapeur que des "passionnés" restaurent et font encore fonctionner. J'en ai également trouvé un dans un vieux "tourne-disque" fabriqué vers 1940...
Juste un détail que j'ai oublié de préciser, même si cela peut paraître évident en regardant les deux schémas fournis. Dans le régulateur de Watt réel (schéma de gauche) le ressort n'existe pas. C'est simplement l'action de la fourchette sur le régulateur que l'on modélise par une force équivalente à celle qu'exercerait un ressort (modèle de droite)...
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