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Méca fluide : pb d'intégration

Posté par
percy78 06-02-16 à 13:03

Bonjour,
J'ai un vecteur vitesse $\vec V = \begin {Bmatrix} u=V(r,z) \\ v=0 \\ w=0 \end {Bmatrix}$ dans une base $\vec er , \vec e\theta, \vec ez$
je peux faire l'hypothèse que $Div \vec V = \frac {1}{r} . \frac {\partial(rV)}{\partial r} = 0$
On trouve $V(r,z)= \frac {A(z)}{r}$
Comment arrive t-on à ce résultat ? que faut-il que je travaille pour comprendre?
Est-ce que $A(z)$ est uniquement une fonction de $z$ parce qu'on a dérivé par rapport à $r$ ?
Pouvez-vous me débloquer en me donnant des exemples?

Posté par re : Méca fluide : pb d'intégration 06-02-16 à 14:04

Par hypothèse : V ne peut dépendre que de r et z.
puisque r0 ; la condition sur la divergence peut aussi s'écrire :

$\frac{\partial\left(rV\right)}{\partial r}=0$
Écrire que (r.V) admet une dérivée partielle nulle par rapport à r est équivalent à écrire que (r.V) ne dépend pas de r mais peut éventuellement dépendre de z :

$V=\frac{A(z)}{r}$
Pour les exemples : toute expression de A faisant intervenir éventuellement z mais ne faisant pas intervenir r peut convenir !
Tu devrais peut-être revoir ton cours de math sur les dérivées partielles...

Posté par re : Méca fluide : pb d'intégration 06-02-16 à 16:44

Oui, effectivement ! Merci.
Dans ce cas la résolution de L'ED passe par un intégration alors que je m'attends à trouver des cos, des sin ou des exponentiels...
Merci pour tes explications !

Posté par re : Méca fluide : pb d'intégration 06-02-16 à 18:51

Désolé mais je rebloque autre exercice, impossible de ré-investir
Mon vecteur vitesse $\vec V(M) = u(r) \vec er + w(z) \vec ez$
j'ai maintenant $\frac {1}{r} . \frac {d}{dr} (r.u) + \frac {dw}{dz} = 0$
Comme w est fonction de z et u fonction de r, j'ai   $\frac {1}{r} . \frac {d}{dr} (r.u) = - \frac {dw}{dz} = cte$ exact?
je  pense que $w=\frac {dw}{dz}.z+B$ puisque quand je dérive w je retombe dessus mais impossible de trouver u
qui devrait être égal à $u=\frac {dw}{dz}.\frac {r}{2}+\frac {C}{r}$   ; C et B constantes
D'où sort ce /2 et C/r dans l'expression de u ? Help !

Posté par re : Méca fluide : pb d'intégration 06-02-16 à 19:33

$\frac{1}{r}\cdot\frac{d\left(r\cdot u\right)}{dr}=-\frac{dw}{dz}$
Puisque, par hypothèse, w ne dépend pas de r, on peut intégrer par rapport à r en faisant intervenir une constante C :

$\frac{d\left(r\cdot u\right)}{dr}=-r\frac{dw}{dz}\quad;\quad r\cdot u=-\frac{r^{2}}{2}\frac{dw}{dz}+C\quad u=-\frac{r}{2}\frac{dw}{dz}+\frac{C}{r}$
Pour la suite, tu dois avoir certainement d'autres renseignements sur le vecteur vitesse.

Posté par re : Méca fluide : pb d'intégration 06-02-16 à 20:01

Ok ! merci pour ta patience... je dois pas avoir les yeux en face des trous

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