Un point matériel M de masse m se déplace sur un cerceau vertical de rayon R. Dans un premier temps le cerceau est immobile. Le contact entre la masse (bille percée et enfilée sur le cerceau) et le cerceau est supposé parfaitement lubrifié de sorte que le frottement soit visqueux, la force de frottement étant ^->F_f=-2bm où désigne la vitesse de la masse par rapport au cerceau. La position du point M est repérée par l'angle avec la verticale.

1. La particule est abandonnée à t=0 depuis la position (0)=₀ sans vitesse initiale. Trouver l'équation différentielle à laquelle obéit dans l'approximation de petits angles.
2. Pour quelle valeur du rayon du cerceau R=R_c la particule s'arrêtera-t-elle le plus rapidement possible à sa position d'équilibre?
3. Déterminer alors la variation de l'angle en fonction du temps.
4. Calculer la vitesse maximale atteinte.
5. Pour entretenir les oscillations, on fait osciller faiblement le cerceau autour de son axe. Les oscillations du cerceau sont décrites par l'angle =₀cos(t). Modifier l'équation différentielle en 1. pour tenir compte des oscillations du cerceau.
6. Montrer que, dans le cas présent, le maximum de la courbe de résonance est atteint exactement pour =₀.
7. En supposant la pulsation donnée, trouver R pour lequel la résonance est obtenue.