Bonjour
À mon avis, tu n'es pas face à un problème de dynamique mais face à un simple problème de cinématique concernant la composition des vitesses angulaires :
avec les notation classiques :

où les trois "" désignent respectivement les vitesses angulaires
* de l'anfant par rapport à la terre ;
* de l'enfant par rapport au manège ;
* du manège par rapport à la terre.
On intègre cette relation entre la date t=0 et la date t = t


Chacune de ces intégrales représente un déplacement angulaire.
Celui de l'enfant par rapport au manège vaut exactement un tour ; celui de l'enfant par rapport à la terre représente un nombre entier de tours.  
Sachant que le manège démarre sans vitesse initiale, on peut penser que la solution demandée est celle correspondant au  nombre minimum de tours effectués par le manège par rapport à la terre.

En effet, je n'avais pas pensé au composer les vitesses angulaires.
Mais je ne vois pas comment trouver, du coup, _e/t.

Attention : le manège étant en phase de démarrage, je ne fais pas l'hypothèse de vitesses angulaires constantes ; je raisonne seulement sur les intégrales qui représentent, comme déjà dit, les angles de rotations :

représente 1 tour (2rad si tu préfères)
Puisque, à la date t, l'enfant se retrouve en face de l'adulte : est égal à un nombre entier de tours (N tours ou 2.N rad)...
Je te laisse terminer...

Je me suis mal exprimée dans mon message précédent, je parlais effectivement de l'intégrale de _e/t.
Mais en fait, je ne vois pas ce que tu veux dire lorsque tu dis que l'intégrale "représente" tel tour.

Valide quels que soient les indices :



angle de rotation entre les instants de dates t = 0 et ...

Mais je ne vois toujours pas comment trouver l'angle de rotation en l'enfant par rapport à la terre.

Pour avancer sur le bord du manège, l'enfant exerce une force F tangentielle au bord du manège.

Soit w1 la vitesse angulaire de l'enfant par rapport au manège, on a : F * R = (m * R²) * dw1/dt
dw1/dt = F/(m.R)

w1 = 1/(m*R) * S(de0 à delt t) F dt

Le manège reçoit, par réaction, la même force F sur sa périphérie

Soit w2 la vitesse angulaire du manège dans le référentiel terrestre, on a : F * R = - J . dw2/dt

dw2/dt = - F * R/J

w2 = - R/J * S(de0 à delta t) F dt

La vitesse angulaire de l'enfant dans le référentiel terrestre est : w = w1 + w2 = (1/(m*R) - R/J) * S F dt

w2/w = - R/J * S(de0 à delta t) F dt / ((1/(m*R) - R/J) * S(de0 à delta t) F dt)

w2/w = - (R/J )/(1/(m*R) - R/J)

w2/w = - mR²/(J - mR²)

Donc 1 tour de l'enfant (dans le référentiel terrestre), correspond à [mR²/(J - mR²)] tour du manège.

Aux erreurs près.  

Le raisonnement de JP suppose que le manège n'est pas entraîné par un moteur et surtout qu'il est mobile sans le moindre frottement autour de son axe vertical. Cela me paraît bien irréaliste mais après-tout : sans énoncé complet...
De plus, la masse du manège est de plusieurs tonnes, celle de l'enfant peut-être 30kg... J>>mR²...
Cela ne remet pas en cause ce que j'ai écrit puisque je n'ai fait aucune hypothèse sur les valeurs des vitesses angulaires mais cela change le signe .
Voici comment je vois les choses :
Dans tous les cas, l'égalité des intégrales de mon message d'hier peut s'écrire :



Donnée :



Hypothèse 1 : la plus réaliste mais pas nécessairement celle demandée ici : le moteur fonctionne et entraîne le manège dans le sens positif : le sens de rotation de l'enfant. Comme déjà expliqué, à la date ,l'enfant à nécessairement effectué un nombre entier de tour :



Nombre de tours effectués par le manège :



Puisque nous sommes en phase d'accélération du manège, on retient la valeur minimale : N=2 donc :



Hypothèse 2 : celle (très peu réaliste) où le manège est désolidarisé du moteur et mobile sans frottement. Comme expliqué par JP, l'enfant en tournant dans le sens plus, met le manège en mouvement très lent dans le sens négatif. Lorsque l'enfant fait un tour sur le manège et se rassoit sur celui-ci, le manège n'a tourné que de quelques degrés dans le sens négatif mais a acquis une vitesse angulaire négative très faible qui va rester constante une fois l'enfant assis. Au bout d'un temps assez long, le manège va ramener l'enfant à sa position initiale par rapport à la terre.

Cela donne donc :





Ainsi le manège va tourner d'un tour également mais cette fois-ci dans le sens négatif. Les calculs effectués par JP sont inutiles pour répondre à la question.

Puisque tu as l'énoncé complet et aussi, j'imagine, la suite du problème : choisis l'hypothèse attendue par le concepteur de l'énoncé.

Même si je me suis fait les même réflexions que vanoise avant de répondre ... je reste sur ma position.

Si le manège était entraîné par un moteur, et donc sa vitesse imposée, le moment d'inertie n'aurait pas de raison d'être mentionné dans l'énoncé, ni d'ailleurs la masse de l'enfant (même en littéral)

Le problème est évidemment pondu par quelqu'un qui n'a aucune idée de la pratique ...

Je mettrais cependant ta tête à couper que c'est bien à un manège supposé sans frottement et non entraîné par un moteur que l'auteur du problème à fait allusion ... et ceci même si c'est très loin de ce qui se passerait en pratique.

L'hypothèse 2 présentée par vanoise ne correspond pas forcément non plus au problème posé, en tout cas je ne le comprends pas ainsi.

"Lorsque l'enfant fait un tour sur le manège et se rassoit sur celui-ci ... "
Ce n'est pas, je pense, cela que dit l'énoncé même si il est ambigü.

Moi j'ai traité le cas où l'enfant avance sur le manège jusqu'à ce qu'il croise l'adulte resté sur le bord ... et on demande de calculer le nombre de tours fait pas le manège à cet instant.

Il reste vrai que cet énoncé est plus que mal foutu et que diverses interprétations sont alors possibles.

Avec tout cela, Kai22 va s'y perdre !
Je tente une rapide synthèse :
Mon hypothèse n° 1 : à oublier je pense  : c'est la plus réaliste mais elle ne colle pas avec la phrase de l'énoncé : "s'arrête lorsqu'il a fait un tour, il revient ainsi à sa position de départ (à côté de l'adulte)".
Mon hypothèse n° 2 : c'est je pense celle attendue par le concepteur de l'énoncé même si elle n'est pas très réaliste. L'argument déterminant pour moi est la phrase que je viens de citer (entre s'asseoir comme je l'ai écrit et s'arrêter comme le dit l'énoncé, les situations sont physiquement équivalentes.
Le calcul de JP : comme il le dit lui-même : "Moi j'ai traité le cas où l'enfant avance sur le manège jusqu'à ce qu'il croise l'adulte resté sur le bord". Cela me semble en contradiction avec le fait qu'il existe, selon l'énoncé, une phase où l'enfant est immobile par rapport au manège et puis, il y a aussi l'emploi par l'énoncé de "revient" .
Enfin : merci à JP : sans son intervention, je n'aurais pas eu suffisamment d'imagination pour envisager qu'un enfant de quelques dizaine de kilogrammes puisse être capable de mettre en mouvement un manège de quelques tonnes rien qu'en marchant, compte tenu des frottements...

Merci pour toutes ces précisions et vos réponses toujours aussi complètes
Je vais opter pour l'hypothèse "il n'y a pas de moteur" car c'est, je pense, ce qui est attendu dans un problème de la sorte.

Quelques précisions supplémentaires... Oui : ce problème totalement irréaliste et mal posé a tout de même un intérêt théorique.
Partons de l'hypothèse de l'absence de moteur et de l'absence de frottement.
Interprétation de JP : l'enfant démarre puis marche en permanence sur le manège. Le raisonnement peut se faire très simplement : l'ensemble {enfant-Manège} constitue un système déformable sur lequel les actions extérieures ont un moment nul par rapport à l'axe de rotation. Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le moment cinétique de cet ensemble se conserve au cours du temps : il est initialement nul, il reste donc nul au cours du temps. En assimilant l'enfant à une masse ponctuelle puisque ses dimensions sont très petites devant le rayon du manège, cela donne :


En intégrant entre t=0 et t = t : date à laquelle l'enfant passe devant la personne immobile sur terre cela donne :



\theta_{e/t}=1\;tour\quad;\quad\theta_{m/t}=-\frac{m.R^{2}}{J_{0z}}\;tour
Il est possible qu'il s'agisse de la solution attendue.
Ce n'est pas tout à fait le résultat de JP : je crois bien qu'il a appliqué le théorème du moment cinétique à l'enfant dans le repère du manège qui n'est pas galiléen alors qu'aussitôt après, il applique ce même théorème au manège dans le repère terrestre galiléen...
Mon hypothèse n° 2 de mes message précédents est, réflexion faite, fausse car elle est contraire à la conservation du moment cinétique. En effet la relation de conservation du moment cinétique et la relation de composition des vitesses angulaires conduit à :




Si l'enfant s'arrête de marcher sur le manège, le manège s'arrête de tourner.  Cela est contraire à mon hypothèse n° 2. Cet arrêt se comprend bien : en commençant à marcher, l'enfant exerce sur le manège une force dans le sens négatif, ce qui accélère le manège dans le sens négatif. Quand l'enfant ralentit pout s'immobiliser, il exerce une force sur le manège en sens inverse qui tend à  l'immobiliser.
Pour conclure : je pense qu'il faut choisir l'interprétation donnée par JP puis raisonner sur la conservation du moment cinétique afin d'avoir des calculs simples.

La formule donnant l'angle de rotation n'a pas été traduite, la voici en clair :

Mon dernier message est je pense correct du point de vue physique  et quasiment sans calcul, même s'il décrit une situation irréaliste. En revanche, il faut oublier mon message du   05-04-17 à 20:50 : il contient une grosse erreur de physique concernant mon hypothèse n° 2  . Utiliser le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen sans faire intervenir les pseudo forces d'inertie ne se fait pas non plus ! Chacun doit reconnaître ses erreurs !

Petite curiosité (mais ça m'intéresse !) sur les referentiels non galiléens : peux-tu un peu m'expliquer en quoi cela consiste dans le cadre du problème posé ?

Il y a peu de temps, j'ai eu l'occasion de poster la réponse suivante sur la nature des référentiels galiléens. Je fais un copier-coller, sans savoir trop si cela répond à ta question.
Effectivement, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie et plus généralement les lois de Newton concernant la mécanique classique sont valides. Il est aussi facile de démontrer que, si un référentiel est galiléen, tout autre référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à lui est aussi galiléen.
Le référentiel dans lequel les lois de Newton sont vérifiées avec une excellente précision est le référentiel héliocentrique : la preuve : les mouvements des planètes du système solaire étudiés dans ce repère vérifient les lois de Newton avec une excellente précision.
Un autre repère souvent utilisé est le repère géocentrique : il est bien en translation par rapport au repère héliocentrique mais le centre de la terre n'est pas animé  par rapport à lui d'un mouvement de translation rectiligne uniforme bien sûr ! Pour y appliquer les lois de Newton, il faut ajouter aux forces appliquées des termes correctifs appelées "forces d'inertie" mais ces termes sont dans presque tous les cas négligeables car ce repère  tourne autour du soleil à raison d'un tour par année sidérale. Un autre repère très souvent utilisé est le référentiel terrestre. L'écart de comportement par rapport à un référentiel galiléen est plus important car il tourne à raison d'un tour par jour stellaire par rapport au repère géocentrique. Il constitue une approximation acceptable pour les mouvements de courte durée...
Evidemment : je suis loin en quelques lignes d'avoir épuisé un sujet aussi vaste. Pose d'autres questions si tu le juges utile...

J'ai eu l'occasion d'effleurer les forces d'entraînement de Coriolis mais je pense que je n'ai pas suffisamment de connaissances à ce stade.
Alors je veux bien savoir !

Quelques expériences montrent le caractère non rigoureusement galiléen d'un référentiel terrestre :
1° :  Chute sans vitesse initiale d'une bille sur une hauteur importante (des expériences ont été faites dans le gouffre de Padirac) : on constate une chute qui n'est pas tout à fait verticale : la bille dévie légèrement vers l'est au cours de la chute.
2° : pendule de Foucault (il en existe un dans le hall des nations unies à New-York (voir ici : )
Cependant, dans la plupart des expériences réalisées sur terre, on peut assimiler la terre à un référentiel galiléen sans commettre de grosse erreur. Tour référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à la terre (un train en mouvement rectiligne uniforme par rapport à la terre  par exemple) peut donc être considéré comme un référentiel galiléen. Ici, le manège est en rotation à la vitesse angulaire par rapport à la terre. Il n'est donc pas galiléen. Il est néanmoins possible d' appliquer à l'enfant les lois de la mécanique dans ce référentiel à condition d'ajouter aux forces réellement appliquées à l'enfant (poids, réaction du plancher du manège) les pseudo-forces d'inerties :
1° : la pseudo force de Coriolis :


J'utilise les notations classiques des coordonnées polaires. Je te laisse constater que le moment de cette force par rapport à l'axe de rotation (O,z) du manège est nul : cette force n'intervient pas dans l'expression du théorème du moment cinétique.
2° : la pseudo force d'inertie d'entraînement :


où a_e représente l'accélération d'entraînement de l'enfant. Cette accélération est l'accélération qu'aurait l'enfant par rapport à la terre s'il était immobile par rapport au manège. Elle possède une composante normale centripète et une composante tangentielle :




La composante normale centrifuge de cette force est aussi de moment nul ; elle est donc sans influence sur l'application du théorème du moment cinétique. En revanche, la composante tangentielle de cette force possède un moment non nul puisque la vitesse angulaire du manège par rapport à la terre varie au cours du temps. La méthode utilisée par JP, en plus d'être nettement plus longue et compliquée que le simple raisonnement sur la conservation du moment cinétique par rapport à la terre est donc fausse.
En tout cas retient bien une chose : appliquer les lois de la mécanique dans un référentiel non galiléen sans faire intervenir les pseudo forces d'inertie est certainement l'erreur la plus grave que l'on puisse commettre en mécanique et elle est très sévèrement sanctionnée aux concours et aux examens...

Merci beaucoup pour toutes ces précisions !