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Niveau maths spé
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Linéarisation d'une équation en mécanique

Posté par
Lore23
20-05-23 à 19:55

Bonjour à tous,

J'ai un problème concernant la linéarisation d'une équation en mécanique classique. On dispose de deux poulies auxquelles sont reliées deux masses M et m, la masse M pouvant uniquement se déplacer par translation selon un axe z descendant et la masse m étant reliée d'autre part à un système agissant comme un pendule simple d'angle \theta(t).

Je vous épargne les calculs mais on arrive à l'équation 2\dot \ell \dot \theta + \ell \ddot \theta = -g\sin \theta

Je cherche à linéariser cette équation dans l'hypothèse de faible amplitude typiquement \tilde \theta(t) = \theta (t) + \varepsilon. Seulement voilà, quand je dois linéariser je sais que je dois obtenir seulement \boxed{\ell \ddot \theta = -g \theta}.

Ma question est donc la suivante : où est passé le terme en \dot \ell \dot \theta ? Cela viendrait apparemment du fait que l'on pousse seulement le DL à l'ordre 1 et que ce terme est une ordre 2 mais je ne vois pas pourquoi ...

Le DL à l'ordre 1 autour de \theta(t) me donnerait \tilde \theta(t) = \theta(t) + \dfrac{d \tilde \theta}{dt} \vert_{\tilde \theta = \theta} \times \varepsilon et donc par identification avec \tilde \theta(t) - \theta(t) = \varepsilon on aurait \dfrac{d \tilde \theta}{dt} \vert_{\tilde \theta = \theta} = 1 soit en multipliant par \dot \ell :
\dot \ell \dot \theta = \dot \ell ce qui ne colle pas avec le fait que ce soit négligeable.

Quelqu'un saurait comment m'aider?

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 20-05-23 à 20:27

Bonsoir
Difficile de t'aider sans plus de précision. Compte tenu de ce que tu as copié de l'énoncé,tu peux joindre l'intégralité de l'énoncé au format PDF. Un schéma précisant les notations et les conditions de fonctionnement est indispensable.
La linéarisation demandé correspond à un pendule simple de faible amplitude.

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 20-05-23 à 21:12

Voici le schéma du modèle.

Linéarisation d\'une équation en mécanique

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 20-05-23 à 21:30

Merci pour le schéma. Sans énoncé complet, je risque de te dire des bêtises...Le théorème du moment cinétique conduit à l'équation différentielle que tu as écrite. L'étude de la masse M conduit sans doute à quelques chose de la forme :

\ddot{l}=-g\cdot\frac{M-m}{M+m}

Sous toutes réserves donc. Je pense tout de même qu'il faut se placer dans le cadre d'oscillation de faibles amplitudes, ce qui revient à un développement limité au voisinage de =0. Dans ces conditions : \sin\left(\theta\right)\approx\theta (développement au second ordre). Reste à montrer que dans les conditions de l'expérience (que j'ignore !!!) :

|\dot{l}.\dot{\theta}|\ll|l.\ddot{\theta}|

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 20-05-23 à 21:41

A la date t=0, la masse m oscille et la masse M est lâchée sans vitesse initiale et le fil est inextensible.

C'est parfaitement ça (tu as fait les bonnes hypothèses pour les conditions initiales ) mais pour arriver à avoir \ddot \ell je pense que t'as dû appliquer un théorème d'énergie pour ensuite linéariser l'équation obtenue (théorème de l'énergie mécanique par exemple).

Mon problème vient dans le fait de linéariser l'équation obtenue par un théorème du moment cinétique par exemple appliqué à m soit donc \dfrac{dL_z}{dt} = -\ell(t) mg \sin (\theta (t)) avec L_z = m \ell ^2 (t) \dot \theta(t) ce qui donne \boxed{2\dot \ell (t) \dot \theta (t) + \ell (t) \ddot \theta = -g \sin (\theta (t)) } d'où mon premier message avec le développement limité.

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 20-05-23 à 21:45

Je n'ai pas de donnée supplémentaire sur l'angle, je sais juste que dans l'hypothèse de faibles oscillations, la linéarisation permet d'obtenir l'expression de \ddot \ell que tu as mentionné. Je pense que tu t'es débarrassé de \dot \ell \dot \theta car tu as considéré que c'était un ordre 2 mais j'aimerais comprendre pourquoi est-ce que ce terme est considéré comme ordre 2 puis pourquoi est-ce que cela permet de s'en débarrasser?

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 10:32

Il y a bien développement limité pour sin() mais pour le reste, il s'agit juste de voir si, dans le contexte expérimental, il est possible de négliger un terme devant l'autre en posant :
|\dot{l}.\dot{\theta}|\ll|l.\ddot{\theta}|
Sans plus de précision sur les données, cela me parait délicat.
Imagine par exemple M nettement supérieur à m : l'accélération de M est assez grande :
\dot{l}=-g.t\cdot\frac{M-m}{M+m}
la valeur absolue de \dot {l} devient assez vite importante, la valeur de l diminue assez rapidement, la période propre d'oscillation du pendule diminue rapidement donc |\dot{\theta}| augmente assez vite. L'inégalité |\dot{l}.\dot{\theta}|\ll|l.\ddot{\theta}| ne peut être satisfaite que pendant une durée très courte.
Si au contraire, l'écart entre M et m est assez faible, l'inégalité |\dot{l}.\dot{\theta}|\ll|l.\ddot{\theta}| sera valide beaucoup plus longtemps mais la relation \ddot{l}=-g\cdot\frac{M-m}{M+m} deviendra fausse car il ne sera plus possible de négliger les variations de tension du fil dues aux oscillations du pendule.
Bref : tu ne fournis pas d'énoncé complet : cet énoncé existe-t-il ? Ne s'agit-il pas simplement d'un énoncé que tu as inventé en sous-estimant les difficultés d'une résolution rigoureuse ?

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 11:25

Le sujet était donné comme ça, il est apparemment issu d'un oral tombé l'an dernier mais je n'ai pas plus d'infos que ça, c'est juste que ça me paraissait bizarre de pouvoir négliger ce terme en faisant un DL à l'ordre 1.

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 11:51

Je me répète : négliger  le terme en \dot{l}.\dot{\theta} ne résulte pas d'un développement limité. Il s'agit juste, en réfléchissant aux ordres de grandeurs, de montrer qu'à chaque instant ce terme est négligeable devant l'autre terme de la somme. Ce qui revient à montrer qu'à chaque instant :

|\dot{l}.\dot{\theta}|\ll|l.\ddot{\theta}|
et cela est loin d'être évident sans plus de précision fournie par l'énoncé.

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 12:02

Ok tant pis alors je l'admettrai au vu de ce que tu dis, merci pour la réponse apportée quand même

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 20:05

Pour illustrer mes précédents messages et la complexité du problème voici deux simulations théoriques effectuées sans approximations de calculs.On néglige cependant les frottement et l'inertie des poulies.
Premier cas : M=300g ; m=200g ; lo=200cm o=10° :
Le mouvement d'oscillation de m influence très peu le mouvement de M mais impossible d'obtenir un mouvement d'oscillation avant que l ne devienne nul lorsque m atteint la poulie.
Deuxième cas : M=300g ; m=295g ; le reste inchangé.
on obtient un couplage entre deux mouvements d'oscillations : les oscillations pendulaire de m et un mouvement de va et vient en translation de M ; analogie avec deux oscillateurs couplés.

Linéarisation d\'une équation en mécanique

Linéarisation d\'une équation en mécanique

Linéarisation d\'une équation en mécanique

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 21-05-23 à 20:06

dernière image :

Linéarisation d\'une équation en mécanique

Posté par
Lore23
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 22-05-23 à 14:34

Ok merci ça me permet de mieux comprendre

Posté par
vanoise
re : Linéarisation d'une équation en mécanique 22-05-23 à 15:18

Et surtout de constater que le terme en \dot{l}.\dot{\theta} n'est, en général, pas du tout négligeable !



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