Niveau maths sup

La statistique des fluides

Posté par
samphysique 16-05-16 à 15:42

Bonjour vous !
Voici mon problème :

Selon le modèle de l'Atmosphère Standard Internationale (ISA), on admet que dans la troposphère (entre 0 et 11km d'altitude), la température T varie avec l'altitude z selon une loi de la forme: T =T0 +A⋅z,oùT0 est la température au sol et A une constante. L'air est assimilé à un GP (M = 29g.mol-1).
Données:
T0 =15°C, P0 =101325Pa, g=9,80m.s−2, gradient vertical de température :-6,5 K.km-1
et R=8,314uSI

1- Etablir la loi de variation de P(z)
AN : Calculer T1 et P1 à 11km d'altitude

En utilisant dP=-rho*g*dz et l'équation d'état des GP j'ai trouvé :
$P0*(T0+Az)^{\frac{Mg}{AR}}$

Par contre, je ne vois pas comment faire l'application numérique, je n'arrive pas à exprimer A..

Merci d'avance !

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 15:57

Bonjour

Citation :
En utilisant dP=-rho*g*dz et l'équation d'état des GP j'ai trouvé :
$P0*(T0+Az)^{\frac{Mg}{AR}}$

Cela n'a pas de sens ! Tu n'as pas écrit une égalité !
La valeur de A est fournie : -6.5K/km.

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 16:11

Oui pardon : $P(z)=P0*(T0+Az)^{\frac{-Mg}{AR}}$
(en plus, il manquait un -)
Mais quand je fait l'application numérique pour P1 ma calculette affiche "erreur : résultat non réel"

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 16:14

Ah non , en fait dans le SI A est : -6.5*10^-3K/m
Du coup, j'ai P=101328 Pa ?

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 16:17

Et 216K du coup pour T1

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 18:32

Je crois aussi que tu as un problème d'homogénéité : une pression ne peut pas être égale au produit d'une pression par une température élevée à la puissance -Mg/RA
Selon moi :

$dP=-\rho g.dz\quad avec\quad\rho=\frac{MP}{RT}$

$\frac{dP}{P}=-\frac{Mg}{RT}dz=-\frac{Mg}{R}\cdot\frac{dz}{T_{0}+A\cdot z}$
Intégration :

$\ln\left(P\right)=-\frac{Mg}{AR}\cdot\ln\left(T_{0}+A\cdot z\right)+constante$
Cas particulier de l'altitude nulle :

$\\ \ln\left(P_{0}\right)=-\frac{Mg}{AR}\cdot\ln\left(T_{0}\right)+constante$
Soustraction ” membre à membre ” :

$\ln\left(\frac{P}{P_{0}}\right)=-\frac{Mg}{AR}\cdot\ln\left(\frac{T_{0}+A\cdot z}{T_{0}}\right)=\ln\left[\left(\frac{T_{0}+A\cdot z}{T_{0}}\right)^{-\frac{Mg}{AR}}\right]$

$\boxed{P=P_{0}\cdot\left(\frac{T_{0}+A\cdot z}{T_{0}}\right)^{-\frac{Mg}{AR}}}$

Posté par re : La statistique des fluides 16-05-16 à 19:04

Oui, je suis allé trop vite en intégrant !
J'ai refait les applications numériques et j'ai toujours T1=216K mais P1=0,226 bar.
ça me semble correcte.
En tout cas merci pour votre aide !!

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