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l'unité n'importe t-elle pas?

Posté par
shakageniesse 24-08-17 à 12:14

bonjour à tous!
voila plusieurs années déjà, que ceci me craquasse:
lorsque, sur un intervalle d'angle de 2 rad donné, la grandeur G d'unité (u), varie suivant la fonction d'angle $f\left(\theta \right)$
de primitive $F$ , sa valeur moyenne
étant donnée par l'expression suivante:
$G_{moy}=\frac{1}{2\pi rad}\int_{0}^{2\pi rad}{f\left(\theta \right)d\theta }\left(u \right)$
$=\frac{\left[F\left(2\pi rad \right) -F\left(0 \right)\right]}{2\pi }\left(u \right)$
pourquoi l'unité de $G_{moy}$ n'est-elle pas $\frac{u}{rad}$ ?
quelqu'un pour éclairer ma lanterne, s'il vous plaît!
en exemple, pour les courants alternatifs, du courants moyen on pourrait avoir pour unité: $\frac{A}{rad}$ .

de shakageniesse, on est ensemble!

Posté par re : l'unité n'importe t-elle pas? 29-08-17 à 18:11

Bonjour
Deux réponses possibles différentes mais heureusement cohérentes.
1° : en raisonnant comme tu as commencé à le faire sur les unités :

$\int_{0}^{2\pi}f(\theta).d\theta$
a pour unité celle de f() par celle de : celle de f() par des radians. Pour obtenir la valeur moyenne, tu divises le résultat précédent par des radians et obtiens donc un résultat ayant l'unité de f(). Résultat tout à fait logique : la valeur moyenne de f() a bien pour unité celle de f().
2° : on peut élargir le raisonnement en s'intéressant à la dimension d'une valeur moyenne. Dans le cas le plus général, la valeur moyenne de la grandeur Y= f(x) sur un intervalle [a,b] tel que b>a, est donnée par la relation suivante (sous réserve bien sûr que f soit continue sur l'intervalle considéré) :

$Y_{moy}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx$
Soit D la dimension de f(x) et B la dimension de x ; (b-a) a la même dimension que x ; la dimension de l'intégrale est donc :

$\left[\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx\right]=D.B$
La dimension de la valeur moyenne est ainsi :

$\left[Y_{moy}\right]=\left[\frac{1}{b-a}\right]\cdot\left[\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx\right]=D^{-1}.B.D=B=\left[Y\right]$
La grandeur étudiée et sa valeur moyenne sont très logiquement de même dimension.
Remarque : dans le cas particulier que tu évoques, les choses sont encore plus simples : un angle se mesure comme un rapport de deux longueurs, c'est donc une grandeur de dimension 1, on dit parfois : "grandeur sans dimension" même s'il ne s'agit pas du terme officiel.

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