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L'opérateur impulsion

Posté par
ScientistH 14-11-17 à 21:16

Bonjour,
on me demande de prouver que l'opérateur impulsion P $\equiv \frac{\bar{h}}{i}\frac{\delta }{\delta x}$ agissant sur l'espace de Hilbert L²( $\mathfrak(R)$ ) est hermitien sachant qu'il admet comme domaine de définition max $D_{max} (P) = \left\{\psi \in L^2(R) \mid \psi dérivable sur R et \int_{-\infty }^{+\infty }{\left|\psi ' \right|}^2dx<\: \infty \right\}$ et donc on admet que les fonctions appartenant à $D_{max}(P)$ tendent vers 0 lorsque $\left|x \right|\rightarrow \infty$

Soit $\varphi ,\psi \in D_{max}(P)$

Je fais donc < $\varphi , P\psi >$ et grâce à une intégration par partie je trouve :
$-\frac{\hbar}{i}\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{d\bar{\varphi (x)} }{dx}}\psi (x)dx$
donc quasiment $<P\varphi ,\psi >$ mais il y a ce signe (-) qui me gêne.
Pourriez vous m'aider à résoudre cela ? Le signe moins est il si important que cela ?
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : L'opérateur impulsion 14-11-17 à 21:39

Hello,

Effectivement le signe - gâche tout!

Peux tu détailler ton intégration par parties? Ou bien, si tu es pressé, jettes peut être un oeil sur un sujet fort similaire il me semble Operateur hermitique

Posté par re : L'opérateur impulsion 14-11-17 à 23:16

Voici le détail de mon intégration :

$<\varphi , P\psi > = \int_{-\infty }^{+\infty }{\bar{\varphi }\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}dx} \\ =\frac{\hbar}{i}\int_{-\infty }^{+\infty }{\bar{\varphi }\frac{\partial \psi }{\partial x}dx} =\frac{\hbar}{i}(\left[\bar{\varphi }\psi \right]^{+\infty }_{-\infty }-\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\partial \bar{\varphi }}{\partial x}\psi dx })=-\int_{-\infty }^ {+\infty }{\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\bar{\varphi } }{\partial x}\psi dx}=-<P\varphi ,\psi >$

J'ai regardé le sujet que vous m'avez conseillé, et je ne comprend pas lors de quelle étape je peux obtenir $\bar{i}$ pour éliminer le signe (-)..

Merci de votre aide

Posté par re : L'opérateur impulsion 15-11-17 à 06:09

Hello,

Tu aurais du mieux regarder!
$\\ <\varphi , P\psi > = \int_{-\infty }^{+\infty }{\bar{\varphi }\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}dx} \\ \\  =\frac{\hbar}{i}\int_{-\infty }^{+\infty }{\bar{\varphi }\frac{\partial \psi }{\partial x}dx} =\frac{\hbar}{i}(\left[\bar{\varphi }\psi \right]^{+\infty }_{-\infty }-\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\partial \bar{\varphi }}{\partial x}\psi dx })$

Jusque là tout allait bien...

$\left[\bar{\varphi }\psi \right]^{+\infty }_{-\infty } = 0$ , on est tjrs bon

Par contre

$-\frac{\hbar}{i}\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\partial \bar{\varphi }}{\partial x}\psi dx }= +\bar{(\frac{\hbar}{i})}\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\partial \bar{\varphi }}{\partial x}\psi dx} = +\int_{-\infty }^{+\infty }\bar{(\frac{\hbar}{i})}{\frac{\partial \bar{\varphi }}{\partial x}\psi dx} = + +\int_{-\infty }^{+\infty }\bar{\frac{\hbar}{i}{\frac{\partial \varphi }{\partial x}}}\psi dx=+<P\varphi ,\psi >$

A retenir:
1)  le scalaire doit être conjugué pour former le bra
2)   $\bar{i} = -i$

Posté par re : L'opérateur impulsion 15-11-17 à 09:29

En effet, une erreur bête, cela me paraît évident maintenant !
Merci beaucoup !

Posté par re : L'opérateur impulsion 15-11-17 à 11:03

Pas de souci! Erreur "bête" il est vrai ... mais que tu n'es pas le seul à faire (généralement 1 fois, après on l'a bien en tête).
Je ne me suis d'ailleurs jamais expliqué pourquoi, lorsque les étudiants emploient le formalisme des "bras-kets", la probabilité d'oubli de conjuguer le coefficient complexe "explose" ...

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