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Operateur hermitique

Posté par
Yassine22 10-06-17 à 16:17

Salut
J'ai un probléme de montrer que l'operateur  \imath \frac{d}{dx} est un operateur hermitique
En utilusant les vecteur ket et bra ,notion de Dirac


Merci d'avance

Posté par
diracre : Operateur hermitique 11-06-17 à 09:37

Hello

La démonstration est assez directe il me semble:

A hermétique:  A = A+

Il faut donc démontrer que pour 2 kets/fonctions quelconques:

< A > = <A+ >

Pour cela:

1) faire une intégration par partie
2) remarquer que les fonctions sont de carrés sommables (donc nulles à l'infini)

N'hésite pas, si ces 2 "indices" ne sont pas suffisants

Posté par
Yassine22re : Operateur hermitique 12-06-17 à 18:18

Merci de repondre mais il reste un astuce lorsqu'on élimine le carré somable il reste un integrale avec un mois  ,ce integrale on va le rendre à la forme origine:      
<φ A  ψ>=-< φ A  ψ>^+
Le probléme est le mois

Posté par
diracre : Operateur hermitique 13-06-17 à 20:21

Te rappeler que    \bar{i} = - i    est il un indice suffisant?

Dans la négative, pas de souci ... on sortira  le LaTeX  

Posté par
Yassine22re : Operateur hermitique 14-06-17 à 04:55

salut:

Operateur hermitique

Posté par
diracre : Operateur hermitique 14-06-17 à 06:41

Hum hum

Tu me sembles te "décourager" bien vite

Effectue une 2nde intégration par partie (pour fait réapparaitre l'opérateur A). Le signe moins qui te chagrine disparait

Posté par
diracre : Operateur hermitique 14-06-17 à 19:46

Latex est mon ami:


\langle\phi|A\psi\rangle   =   \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\phi}\frac{d^2\psi}{dx^2}dx     =  \underbrace{[\bar{\phi}.\frac{d\psi}{dx}]^{+\infty}_{-\infty}}_{=0}   -  \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}dx

Avec

\int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}dx=  \underbrace{[\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}]^{+\infty}_{-\infty}}_{=0}   -  \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d^2\phi}{dx^2}}.\psi}dx

Donc

\langle\phi|A\psi\rangle   =   +  \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d^2\phi}{dx^2}}.\psi}dx   =   \langle A\phi|\psi\rangle

Posté par
Yassine22re : Operateur hermitique 15-06-17 à 00:43

merci carrément pour confirmer mon intuition sur ce signe, C'est la même méthode que j'ai utilusé mas j'ai été pas sur.  

Posté par
diracre : Operateur hermitique 17-06-17 à 09:31

Avec une petite coquille (dont je suis assez familier quand je fais des copier/coller ...)

Il ne fallait pas lire

\int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}dx=  \underbrace{[\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}]^{+\infty}_{-\infty}}_{=0}   -  \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d^2\phi}{dx^2}}.\psi}dx

Mais bien sûr:

\int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\frac{d\psi}{dx}dx=  \underbrace{[\bar{\frac{d\phi}{dx}}.\psi]^{+\infty}_{-\infty}}_{=0}   -  \int_{-\infty}^{+\infty}\bar{\frac{d^2\phi}{dx^2}}.\psi}dx


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