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l'équation de la courbe méridienne
Bonjour tout le monde,
J'aurai besoin de votre aide. Pourriez-vous me corriger cette exercice, s'il vous plaît ? , je vous remercie d'avance.
Voici l'énoncé:
Un vase présente la forme d'un solide de révolution, autour d'un axe vertical. Déterminer l'équation de la courbe méridienne AOB de façon que le niveau de l'eau , initialement versée dans le vase , s'abaisse d'un mouvement uniforme quand ce dernier se vide par un orifice inférieur, de section ɯ, percé au point o.
Je trouve donc cela, dite moi ce que vous en pensez
Rappel: On sait que très bien que peu importe la forme du vase au-dessus de l'ouverture à considérer car on sait que le débit dépend de la hauteur, le débit est en fonction de la vitesse et section par où le débit est à considérer, donc peu importe ce qu'il se passe au niveau de la géométrie du vase,
La problématique est la suivante :
Déterminer l'équation de la courbe méridienne OAB de façon que le niveau de l'eau, initialement versée dans le vase, s'abaissent d'un mouvement uniforme quand ce dernier se vide par un orifice inférieur , de section w , percé au point O.
Il s'agit donc simplement de déterminer à quelle position en Y se trouve la courbe méridienne OAB en fonction de x. Et cela en considérant un mouvement uniforme donc avec :
dy/dt=constante.
J' exprime S la surface du liquide en fonction de x (S=Pi*x²), je remplace S dans l'expression:
-Sdy=m*w*racine(2gy)dt
-Pi*x²dy=m*w*racine(2gy)dt
-(Pi*x²dy)/(m*w*dt)=racine(2gy)
Puis on en déduit y en fonction de x ( y=f(x) ).
y=-((Pi*x²dy)/(m*w*2g*dt))²
on sait que dy/dt=cst (vu que le mouvement est imposé comme étant uniforme).
y=-cst*((Pi*x²)/(m*w*2g))²
débit = w.RCarrée(2.g.y) (avec y la hauteur du liquide dans le récipient et w la section du trou)
Il suffit que ce débit soit proportionnel à la section du récipient à "l'altitude" y
--> w.RCarrée(2.g.y) = k.Pi.x²
w².(2.g.y) = k².Pi².x^4
y = (k².Pi²/(2.g.w²)).x^4
Sauf distraction. 
Bonjour nano21
Je ne vois pas ce que viens faire la notation m ici. Sinon le raisonnement est correct à condition de considérer la vitesse d'abaissement du liquide dans la clepsydre () négligeable devant la vitesse de sortie de l'eau au point O, vitesse que je note v. Je suppose l'axe (Oy) orienté vers le haut.
Il est toujours possible de trouver une ligne de courant partant d'un point de la surface libre du liquide pour aboutir à un point de l'orifice O En négligeant la variation de pression atmosphérique sur la hauteur y, le théorème de Bernouilli conduit à :
Le débit volumique peut s'écrire :
On veut : =K (constante)
En reportant dans l'expression du théorème de Bernouilli :
Sauf lorsque la surface libre approche du fond de la clepsydre, ce qui ne se produit pas en général car on remplit la clepsydre avant d'en arriver là, il est possible de considérer la vitesse v très largement supérieure à la vitesse d'abaissement du liquide K : K<<v. L'expression du théorème de Bernouilli se simplifie alors :
L'équation finale se simplifie aussi :
Je te laisse juge...
Pour la petite histoire ...
La relation (sous réserve que la vitesse d'écoulement soit grande devant la vitesse de variation du niveau du liquide dans le réservoir) est due à Torricelli (en 1644) près de 100 ans avant que Bernoulli (sans i devant les 2l) n'établisse son théorème (en 1738) qui permet évidemment de retomber sur le même résultat.
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