Bonsoir
Je ne comprends pas bien le contexte.  Souvent pour étudier un mouvement plan, on pose Z=x+i.y.
Une fois obtenue l'expression de Z, on revient aux coordonnées cartésiennes en prenant d'une part la partie réelle de Z, d'autre part la partie imaginaire de Z.

Bonsoir Vanoise,

si on considère le plan complexe, on sait que l'exponentielle complexe est une rotation dans le plan complexe.

Donc on a la partie réelle cos(théta) et la partie imaginaire sin(théta) si on est en polaire.

Mais si on représente la trajectoire en fonction du temps selon x, on aura un cosinus par contre si on regarde la trajectoire selon l'axe imaginaire c'est un sinus mais le problème c'est que l'axe imaginaire n'est pas réel du coup on peut pas mettre ça dans une expression x(t) par exemple car ça n'aurait aucun sens.. Du coup, je voulais savoir si ma trajectoire x(t)=  l'exponentielle complexe, comment je l'interprète physiquement étant donné qu'il y a une partie imaginaire ?

Parce que je me dis que la partie imaginaire n'est pas là pour rien mais d'un autre c'est imaginaire donc ça a pas de sens de la garder dans une expression de trajectoire par exemple.

Donc est ce que je dois garder que le cosinus ?

Je ne sais pas ce que la partie imagine sinus d'une exponentielle complexe signifie dans ces cas là...

Tu n'as pas bien compris mon premier message. Parler de trajectoire complexe n'a pas de sens ; une coordonnée complexe x(t) n'a pas de sens non plus. Le recours aux complexes pour obtenir les équations horaires du mouvement d'un point est juste une méthode de calcul pour résoudre des équations différentielles un peu délicates.

Pour mieux me faire comprendre, je vais prendre l'exemple du mouvement dans un repère (O,x,y,z)lié à un référentiel galiléen d'une particule de masse m et de charge q introduite dans un champ magnétique de vecteur avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce vecteur :



La particule est alors soumise à la force de Lorentz :



On démontre que la trajectoire de la particule est plane : sa cote z reste nulle à chaque instant. Les coordonnées (x,y) vérifient les équations différentielles suivantes :



J'insiste (lourdement) : les coordonnées de la particule sont des réels qui dépendent à priori du temps. Ce système d'équation différentielle n'est pas immédiat dans la mesure où chaque équation fait intervenir les deux variables ; on parle de système couplé. L'astuce consiste à introduire le complexe Z (rien à voir avec la cote z de la particule qui ici reste nulle)de la façon suivante :



On multiplie chaque terme de (2) par « i » et on additionne membre à membre (1) et (2) :



soit :



On est ainsi ramené à une équation différentielle simple dans le domaine des complexes. On résout cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales. On peut passer éventuellement par le module et l'argument de Z. Peu importe : une fois obtenue l'expression de Z en fonction de t, on revient à la réalité physique :



Aucun plan complexe n'intervient ici !

Ok donc si je comprends bien, c est utilisé dans ton exemple plutôt pour simplifier les calculs et ensuite on considère la partie réelle et imaginaire ok mais du coup c est impossible qu en résolvant un problème, on arrive à une expression qui fait apparaître un imaginaire dans une trajectoire par exemple ?

Si ton équation différentielle n'admet pas de solution réelle  :
Soit le mouvement est impossible dans le cadre des hypothèses faites, soit une erreur s'est glissée quelque part.

OK merci beaucoup