Niveau maths spé

Induction

Posté par
jh75 11-04-17 à 15:03

Bonjour,

j'ai l'exercice suivant à résoudre :
On considère un cylindre isolant d'axe $Oz$ , de rayon $R$ , de très grande longueur, uniformément chargé en surface. Ce cylindre porte la charge $\lambda$ par unité de longueur de cylindre. Sur l'axe de ce cylindre se trouve un fil infi uniformément chargé et portant la charge $-\lambda$ par unité de longeur L'ensemble est plongé dans un champ magnétique $\vec{B}(t) = B(t)\vec{e_z}$ uniforme, parallèle à l'axe $Oz$ Le champ magnétique est initialement nul, et atteint la valeur $\vec{B}(\tau) = B_0\vec{e_z}$ à l'instant $\tau$ On adopte les coordonnées cylindres $(r,\theta,z)$ d'axe $Oz$ . On néglige tout effet de bord. L'ensemble est assujetti à une liaison pivot idéale d'axe $Oz$ .

1. Montrer que les variations du champs magnétique induisent un champ électrique que l'on calculera en fonction des données.

2. En déduire que le cylindre acquiert un moment cinétique par unité de longueur donné par : $\vec{L}=-\frac{\lambda R^2}{2}B_0.\vec{e_z}$ . Commenter ce résultat. Quel est le mouvement du cylindre ?

Alors, pour la première partie de la question 1., j'invoque l'équation de Maxwell-Faraday. Cependant, j'ai un soucis par rapport à la géométrie de $\vec{E}$. En effet, j'aurai tendance à dire qu'il est orienté selon $\vec{e_r}$ (en observant les plans de symétrie de la distribution de charges). Or, la question 2. nous demande de montrer l'existence d'un moment cinétique. Ainsi, en calculant le moment de la force de Lorentz en prévision d'une application du théorème du moment cinétique, j'ai : $\vec{M}_0(\vec{F}) = d\ell\lambda (R\vec{e_r}\wedge E\vec{e_r}) = \vec{0}$ .

Bref, il doit y avoir une erreur de raisonnement dans ma détermination de la géométrie de $\vec{E}$ mais je ne sais pas où.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance

Posté par re : Induction 11-04-17 à 15:40

Bonjour
La première question ne concerne pas le champ électrique créé par les charges mais le champ électrique induit par les variations de B (champ electromoteur). Pour cela le plus simple consiste à déterminer le potentiel vecteur puis... Je te laisse réfléchir et proposer une solution.

Posté par re : Induction 11-04-17 à 15:45

Bonjour et merci beaucoup de votre réponse.
Il se trouve que le potentiel vecteur n'est pas au programme de CPGE MP (j'aurais dû préciser ma filière, mea culpa). Y-a-t'il alors un autre moyen sans passer par le potentiel vecteur ?
Merci d'avance

Posté par re : Induction 11-04-17 à 17:52

Oui mais plutôt moins simple : utiliser la loi de Maxwell-Faraday en coordonnées cylindriques comme tu l'as suggéré. En projetant sur U, on obtient :

$\frac{\partial E_{r}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial r}=-\frac{\partial B}{\partial t}$
Compte tenu des invariances, les coordonnées du vecteur champ électrique induit ne doivent pas dépendre de , ni de z. Il te reste :

$\frac{\partial E_{z}}{\partial r}=\frac{\partial B}{\partial t}$
Le raisonnement que tu évoques concerne le vecteur champ électrique créé par les charges électriques.

Posté par re : Induction 13-04-17 à 15:45

Manque d'attention de ma part : le champ magnétique variable est dirigé par U_z et non par U. La relation de Maxwell-Faraday s'écrit donc :

$\frac{1}{r}\left[\frac{\partial\left(r.E_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta}\right]=-\frac{dB}{dt}$

Comte tenu des invariances comme déjà expliqué :

$\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial\left(r.E_{\theta}\right)}{\partial r}=-\frac{dB}{dt}$

Je te laisse démontrer que, le champ induit ne pouvant tendre vers l'infini quand r tend vers zéro, il vérifie :

$\overrightarrow{E}=E_{\theta}\cdot\overrightarrow{U_{\theta}}\quad avec\quad E_{\theta}=-\frac{r}{2}.\frac{dB}{dt}$

La portion de cylindre de rayon R, de hauteur h, porte la charge $Q=\lambda.h$ . Une charge élémentaire $dQ=\sigma.dS$ du cylindre est soumise à la force électrique induite :

$\overrightarrow{dF}=\sigma.dS.E_{\theta}\cdot\overrightarrow{U_{\theta}}=-\sigma.dS.\frac{R}{2}.\frac{dB}{dt}.\overrightarrow{U_{\theta}}$

La résultante étendue à la portion de cylindre de hauteur h est le vecteur nul. L'action électrique sur cette portion est donc un couple. Le moment élémentaire de dF est donc :

$\overrightarrow{dM}=R.\overrightarrow{U_{r}}\wedge\overrightarrow{dF}=-\sigma.dS.\frac{R^{2}}{2}.\frac{dB}{dt}.\overrightarrow{U_{z}}$

La somme de ces moments élémentaires étendue à la portion de hauteur h est donc :

$\overrightarrow{M}=-\lambda.h.\frac{R^{2}}{2}.\frac{dB}{dt}.\overrightarrow{U_{z}}$

Le théorème du moment cinétique appliqué à la portion donne :

$\overrightarrow{M}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$

En intégrant entre 0 et $\tau$ :

$\overrightarrow{L}=-\lambda.h.\frac{R^{2}}{2}.B_{0}.\overrightarrow{U_{z}}$

D'où le résultat rapporté à l'unité de longueur... Je te laisse arranger la solution, un peu trop succincte ici...