Niveau licence

hydrostatique : barrage

Posté par
chocohoney 27-12-11 à 12:00

Bonjour, je n'arrive pas à commencer cet exercice :
l'eau se trouve à une hauteur h derrière un barrage vertical de largeur homogène b. Montrez que la surface du liquide forme un angle = tan^-1 a/g avec l'horizontale.

Je pense que le liquide doit exercer la même force dans toutes les directions, autrement dit son poids non ?

Merci d'vance pour votre aide

Posté par re : hydrostatique : barrage 27-12-11 à 12:02

Désolé je me suis trompée d'exercice en recopiant :

L'eau se trouve à une hauteur h derrière un barrage vertical de largeur homogène b. à l'aide la méthode d'intégration, montrez que la force totale exercée par l'eau sur le barrage s'écrit : F= 1/2 ro g h²b.

Posté par re : hydrostatique : barrage 28-12-11 à 00:02

Bonsoir,

$\Large \vec{F}=\iint_S \text{d}\vec{F}$

$\Large\text{d}\vec{F}=(P_l-P_0)\text{d}\vec{S}=(P_l-P_0)\text{d}S\vec{n}$

où $P_0$ pression exercée par l'air, $P_l$ pression exercée par le liquide, $\vec{n}$ vecteur normal à la surface sortante du barrage.

On applique le principe fondamental de la statique sur une particule de fluide (eau) :

$\Large\vec{0}=-\vec{\text{grad}}P+\rho g\vec{e_z}\ \Rightarrow\ \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=0\ \text{et}\ \frac{\text{d}P}{\text{d}z}=\rho g\ \text{soit}\ P=\rho g z+P_0$

(l'axe des $z$ est vers le bas donc en $z=0$ $P=P_0$ et la masse volumique est constante, elle est indépendante de $z$ puisque l'eau est un fluide incompressible).

Donc $\Large\text{d}\vec{F}=\rho gz\text{d}\vec{S}\ \Rightarrow\ \boxed{\vec{F}=\iint_S\rho gz\text{d}S\vec{n}=b\int_h^0\rho gzdz\vec{n}=-\frac{1}{2}\rho gh^2b\vec{n}}$

Soit finalement, $\Large\blue\boxed{F=\|\vec{F}\|=\frac{1}{2}\rho gh^2b}$ .