Bonjour,
Je suis d'accord avec toi, si 2 opérateurs commutent, c'est qu'ils partagent une base dans laquelle les 2 opérateurs sont diagonaux.
Mais là où je suis moins sûr, c'est que dire que l'hamiltonien commute avec J (ou I ou F) signifie qu'il commute également avec J_z (ou I_z ou F_z). Je pense que la démonstration est encore à faire pour ces opérateurs-là.
Cela dit je ne saurais pas te dire comment procéder, je vais y réfléchir encore.
Désolé de ne pas pouvoir t'aider plus.

Pour le fait que l'hamiltonien commute avec J implique qu'il commute avec J² et J_z, je pense bien que c'est faut, j'ai juste mal lu les feuilles.


Pour [H_HF; J], l'isospin me pose un petit problème, mais il me semble que n'ayant pas d'interaction avec J on peut l'exclure purement et simplement du commutateur ce qui donnerait donc:

[J,J]I=0, ce qui est pareil pour I et étant donné que F=J+I, F commute également avec H_HF


Donc pour le reste il faut calculer avec les différentes composantes de la base, si c'est bien ce qu'il faut faire pour montrer si H est diagonale ou non.

Pour ce que j'ai lu a priori l'hamiltonien est diagonal dans la deuxième base.

OK, je vais peut-être soulever un autre problème (à défaut de répondre au tien, désolé ) :
Est-ce qu'il ne faut pas lire le produit IJ (dans la définition de l'hamiltonien)
comme un produit scalaire, soit I_xJ_x + I_yJ_y + I_zJ_z, puisque I et J sont des vecteurs. Dimensionnellement, ça s'accorderait mieux pour calculer le commutateur [H,I_z] ou [H,I²].

Dans ce cas si on veut calculer [H,I²] par exemple :
[H,I²] = A(J_xI_x + J_yI_y + J_zI_z) I² - I² A(J_xI_x + J_yI_y + J_zI_z)
= A([J_xI_x,I²] + [J_yI_y,I²] + [J_zI_z,I²])

Après, si j'applique les règles de commutation des moments cinétiques
([J_i,J²] = 0 qqsoit i et [J_x,J_y] = ihJ_z) :
[H,I²] = A([J_x,I²] I_x + [J_y,I²] I_y + [J_z,I²] I_z).

Là si je suis ce que tu dis dans ton précédent message, tous les commutateurs de la somme sont nuls.

il faudrait faire la même chose pour J², I_z et J_z, et la commutation avec F se déduirait de ceux-ci comme tu l'as dit.

Par contre je ne saurais pas justifier la dernière étape au-dessus...

J'ai vu dans un livre un concernant l'hamiltonien de structure fine pour les états 2s et 2p.

2s et 2p sont états propres de L², avec des valeurs propres différentes, et étant donné que W_f commute avec L², la matrice résultante n'a pas d'éléments entre un état 2s et un état 2p.


Donc si je reprend ce raisonnement sachant que A_nlJI=A_nl(F²-J²-I²) |F, m_F> est état propre de A_nlJI, donc si l'hamiltonien hyperfin commute avec F² J² et I² et que les valeur propre sur la base sont différentes alors la matrice est diagonale.


Par contre je ne sais pas si |M_J,M_I> peut être considéré comme état propre de H.

Et par la suite montrer que les valeurs propres sont différentes.

Je tente quelque chose, mais il faudrait que M_J et M_I soient eux aussi des vecteurs.
Donc M_J = (M_Jx M_Jy M_Jz)
M_I = (M_Ix M_Iy M_Iz)

Dans ce cas les états propres et vecteurs propres de Jx par exemple sont
Jx | M_Jx > = h M_Jx | M_Jx >

Idem pour les autres composantes et celles de I.

Dans ce cas,
H | M_J M_I > = A (J_xI_x + J_y I_y + J_zI_z) |M_Jx M_Jy M_Jz M_Ix M_Iy M_Iz >
= Ah² (M_JxM_Ix + M_JyM_Iy + M_JzM_Iz) | M_J M_I >
= Ah² M_JM_I | M_J M_I >
le dernier produit étant un produit scalaire.

| M_J M_I > est donc bien état propre de H, sauf erreur de ma part.

Je n'ai pas pu lire le début du raisonnement par contre, "erreur de Latex" ?