Problème un peu étrange et beaucoup moins simple qu'il n'en a l'air. Il faut se placer dans le référentiel barycentrique du système des deux masses que l'on peut considérer comme galiléen si aucune force extérieure au système des deux masses n'intervient. Il faut aussi imaginer que les deux masses n'ont pas de vitesse initiale dans ce repère barycentrique.
Il faut alors étudier la distance à G d'une masse fictive appelée masse réduite, soumise à la même force que la force d'interaction entre les deux masses.
Voir en détail ici, paragraphe 1 :

Les notations correspondent au système terre-soleil mais sont facilement transposables.

Je me suis situé dans le repère du centre de masse (que je suppose galiléen), et j'ai considéré que la masse m1 (à une distance x1 de ce centre de masse) tombe sur le centre de masse en libérant une énergie potentielle égale à:
Ep= K*m2*(1/x1-1/x), K constante de gravitation universelle, x abscisse du point m1 dans sa chute, x dépendant de t
Cette énergie potentielle est transformée en énergie cinétique: Ec= 1/2* m1*(dx/dt)^2
J'écris Ep=Ec, ce qui m'amène à une équation différentielle:

dx/dt=(2*K*m2/(x1*m1))^(1/2) * (1-x1/x)^1/2
En appelant alpha, le terme: (2*K*m2/(x1*m1))^(1/2) et
en séparant les variables, j'aboutis à:

t=alpha^-1 * integrale (x1 à 0) de (dx/(1-x1/x)^(1/2))

AN Pour deux masses égales à 1Kg et distantes de 1 m, je trouve t= 12 h 57 '

Est-ce que mon raisonnement est juste ? Y a-t-il moyen de simuler le problème par l'informatique ?

Non : il faut s'intéresser dans le repère barycentrique à la conservation de l'énergie mécanique de l'ensemble des deux masses.
Tu n'as manifestement pas compris le fichier que je t'ai communiqué. Si tu notes r la distance entre les deux masses, l'étude revient à étudier le mouvement d'un point matériel de masse µ (appelée masse réduite) à la distance r de G soumise à la force d'interaction entre les deux masses :



Ce qui permet de définir l'énergie potentielle de la masse réduite :



L'énergie cinétique de la masse réduite, dans le cas d'un mouvement radial où les deux masses se rapprochent l'une de l'autre s'écrit :



Attention : cette expérience n'est pas possible sur terre entre deux boules de masse 1kg chacune : la force d'attraction gravitationnelle est beaucoup trop faible par rapport aux autres forces susceptibles de s'appliquer... Il faudrait s'imaginer deux astres à symétrie sphérique, très loin de tout autre astre, à une distance l'un de l'autre très grande devant les rayons des astres, initialement immobiles l'un par rapport à l'autre, qui se précipiteraient l'un sur l'autre...