Bonjour,

Les ressorts sont caractérisés par leur raideur, c'est à dire la force qu'il faut leur appliquer pour les déformer d'une unité de longueur donnée. Ici la raideur du ressort est de 40 N/cm, c'est à dire que quand le ressort est comprimé de 1 centimètre, sa force de réaction est de 40 newtons. Cette caractéristique est linéaire tant que l'on ne dépasse pas la limite d'élasticité du ressort, au delà de laquelle le ressort subit des micro-cassures irréversibles. Dans un système donné le ressort est donc choisi pour travailler dans sa plage d'élasticité.
Si k est la raideur d'un ressort, l'énergie emmagasinée par celui-ci pour une compression d'une longueur L vaut :
E  =  (1/2) . k . L²  
Cette formule se démontre facilement en intégrant de 0 à L  le travail résistant du ressort.

Dans ce problème la masse est d'abord en chute libre pendant 70cm. Ensuite elle entre en contact avec le ressort. On étudiera d'abord l'énergie cinétique qu'elle aura acquise pendant sa chute libre, c'est à dire jusqu'à l'instant où elle entrera en contact avec la plaque. On étudiera ensuite l'évolution du système complet composé de la masse et du ressort. Pour des raisons de simplification du problème on considérera que la plaque a une masse négligeable par rapport à celle de 12kg. Si cette masse n'était pas négligeable, il faudrait en tenir compte en l'intégrant dans l'ensemble des masses en mouvement à partir du moment où la masse de 12kg touche la plaque. Si l'on avait besoin d'une précision extrême, il faudrait aussi tenir compte de la masse propre du ressort, des frottements dans l'air, … Le problème pourrait vite devenir très compliqué, c'est pour cela qu'on est toujours amené à faire une simplification raisonnable.

Etude de la chute libre :
Au départ la masse est immobile.
Seule la force de gravitation s'exerce sur la masse pendant toute sa chute libre (on néglige les frottements dans l'air). L'énergie cinétique que possède la masse au moment où elle touche la plaque est égale à l'énergie potentielle qu'elle avait au départ (exprimée en joules) :
E  =  M . g .h  =  12 . 9,81 .0,70  =  82,4 J
Sachant que l'énergie cinétique se calcule par la formule E  =  (1/2) . M . v² , on peut en déduire sa vitesse :
v²  =  2.E / M    et    v  =  racine(2.E / M)  =  racine(2 . 82,4 / 12)  =  3,7 m / sec

Etude du système composé par l'ensemble masse + ressort à partir du moment où la masse touche le ressort :
La masse va comprimer le ressort. Quand l'écrasement du ressort sera tel que la réaction du ressort compense le poids de la masse, alors l'accélération sera nulle, ensuite l'accélération deviendra négative, c'est à dire que la masse va ralentir jusqu'au moment où sa vitesse sera nulle. On aura alors atteint l'écrasement maximal du ressort. C'est ce point qui nous intéresse.
Après avoir atteint ce point d'écrasement maximal, le ressort fera remonter la masse qui oscillera ensuite autour de son point d'équilibre pendant un temps qui dépendra des facteurs d'amortissement. Ici l'amortissement est négligé, donc en théorie ça oscillerait en permanence, la masse rebondirait indéfiniment jusqu'à son point de lancement . Dans la réalité le frottement de l'air et d'autres formes de perte d'énergie finiront par stabiliser l'ensemble. La position d'équilibre final se calcule facilement en déterminant la longueur d'écrasement du ressort pour que sa réaction soit égale au poids de la masse :
Ecrasement du ressort nécessaire à l'équilibre :
Force de réaction nécessaire (= M . g) / raideur du ressort :
12 . 9,81 / 40  =  2,94 cm
Le principe de conservation de l'énergie dans un système isolé permet de dire que la quantité totale d'énergie du système masse + ressort sera la même quand le ressort aura atteint son point d'écrasement maximal qu'à l'instant où il touche la plaque. On écrit donc l'égalité de ces deux bilans d'énergie et on en déduit la longueur L d'écrasement maximal du ressort, c'est à dire le point le plus bas que la masse atteindra, où elle sera immobile un instant (avant de remonter).

Bilan de l'énergie du système masse + ressort au moment du contact avec la plaque, à une altitude que l'on appellera L0 :
E(LO)   =   énergie cinétique de la masse  +  énergie potentielle de la masse à l'altitude L0 par rapport à l'altitude (L0 - L)  +  énergie emmagasinée par le ressort pour un écrasement nul
E(L0)   =   (1/2) . M . v²  +  M.g.L  +  (1/2) . k . 0² ;  le dernier terme étant nul car le ressort n'est pas encore compressé. On a donc :
E(L0)   =   (1/2) . M . v²  +  M.g.L   =   82,4  +  12 . 9,81 . L

Bilan de l'énergie du système masse + ressort au point le plus bas, à l'altitude (L0 - L) :
E(L)   =   énergie cinétique de la plaque  +  énergie potentielle de la masse à l'altitude (L0 - L) par rapport à l'altitude (L0 - L)  +  énergie emmagasinée par le ressort pour un allongement L
E(L)   =   (1/2) . M . 0²  +  M.g.0  +  (1/2) . k . L² ;  les deux premiers termes sont nuls car la masse a perdu toute sa vitesse et son énergie potentielle par rapport au point bas où elle se trouve est nulle. On a donc :
E(L)   =   (1/2) . k . L² =   (4000 / 2) . L²   =   2000 . L²

E(L)  =  E(L0)
2000 . L²   =   82,4 + 12 . 9,81 . L
2000 L²  - 117,7 . L  -  82,4   =   0
racine(delta)   =   820
L   =   (117 + 820) / 4000   =   0,23 m   =   23 cm

Sauf erreur la plaque s'enfoncera donc de 23 cm avant d'osciller autour d'une position finale correspondant à un enfoncement de 2,9 cm.

Au revoir

Un tout grand MERCI pour toutes vos explications
et pour votre aide!!
            Je suis très contente.


                         Nathalie-Marie.:)

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c'est avec plaisir,
mais il est vrai qu'il est toujours agréable de voir une certaine reconnaissance de l'effort.
C'est aussi tellement beau de voir une suite de messages se terminer par j'ai tout compris ou je vous remercie, qu'on n'a rien envie d'y ajouter.
Merci donc à vous de votre gratitude.


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Bonjour,

vous pouvez aussi laisser un message ici si vous avez envie : [lien]

Pookette

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