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Goutte de boue 
Bonsoir,
Voici un autre petit exercice intéressant, j'aimerais votre avis là-dessus :
Une voiture est bloquée dans la boue, afin de s'en sortir, elle fait tourner une de ses roues très vite (roue en forme de cercle (!) de rayon R), à une vitesse v, lorsque v^2 > gR. De la surface de cette roue est pulvérisée de la boue. On néglige le frottement avec l'air, trouvez la hauteur maximale à laquelle va être pulvériser la boue.
Conseil : Puisque chaque goutte de boue peut arriver d'endroits différents sur la surface de la roue, il faut définir la hauteur initiale d'un point à la surface du cercle de rayon R. De là, exprimer la fonction hauteur à l'aide des paramètres donnés dans le problème et trouver le maximum.
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Comme d'habitude, voilà ce que j'ai fais : j'ai exprimé la hauteur initiale en fonction de l'angle de départ de la goutte, disons 
, je trouve Hi : R+Rsin (par rapport au bas de la roue).
Ensuite j'ai vu ça comme un mouvement de lancé avec angle de départ en faite.. Du coup à la hauteur max, il n'y a que la vitesse horizontale Vcos qui rentre en jeu.
Ensuite par la loi de conservation de l'énergie :
0.5mv^2 + mgHi = mgHmax + 0.5m(Vcos)^2.
J'arrive à une expression avec des bien sûr qui est maximum quand = 90.. Du coup je retombe sur un truc simple.. Mais j'ai l'impression de passer à côté de quelque chose.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour vos réponses
salut
pour moi, la goutte atteindra une hauteur maximale si son vecteur vitesse initiale est dirigée verticalement vers le haut. (donc en effet ton theta = 90°). Du coup il suffirait de dire que h = v²/2g où v est ta vitesse initiale.
Ce serait un peu trop simple.
En effet, l'altitude de la goute au moment de l'éjection est aussi à prendre en compte dans les calculs
En appelant h la hauteur max (PAR RAPPORT AU SOL) de la goute en fonction de theta (voir plus loin ce qu'est theta) :
Je trouve : h(theta) = R(1 + sin(theta)) + Vo².cos²(theta)/(2g)
Pour theta dans ]-Pi/2 ; Pi/2[)
Avec theta l'angle entre l'horizontale passant par le centre de la roue et le rayon passant par le point d'éjection.
dh/dtheta = R.cos(theta) - (Vo²/g).cos(theta).sin(theta)
dh/dtheta = cos(theta).(R - (Vo²/g).sin(theta))
Mais dans ]-Pi/2 ; Pi/2[, cos(theta) n'est jamais nul ---> l'extrema (qui sera un max) est pour R - (Vo²/g).sin(theta) = 0
---> sin(theta) = R.g/Vo²
cos²(theta) = 1 - R²g²/Vo^4 = (Vo^4 - R²g²)/Vo^4
h max = R(1 + R.g/Vo²) + Vo².((Vo^4 - R²g²)/Vo^4)/(2g)
h max = R(1 + R.g/Vo²) + (Vo² - R²g²/Vo²)/(2g)
h max = R + R².g/Vo² + Vo²/(2g) - R²g/(2Vo²)
h max = R + R².g/(2.Vo²) + Vo²/(2g)
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Sauf distraction, Vérifie.
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