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Frottements mécaniques

Posté par
Jumeau 07-09-13 à 11:17

Bonjour,

Je bloque sur un exercice ,voici l'énoncé :

Si on lâche la bille dans une colonne de fluide visqueux , sa vitesse se vérifie par l'équation suivantes:
(dv/dt)+(v/)=g

J'ai tout d'abord mis tout au même dénominateur .
Puis j'ai essayé d'isoler mais je trouve le résultat suivant qui n'est pas cohérents:
=(dv*+v*dt)/(dt*g)

Que dois-je faire ?

Posté par re : Frottements mécaniques 07-09-13 à 11:46

Bonjour,

Je pense que la question posée est de déterminer l'équation horaire du mouvement ...

L'énoncé te donne l'équation différentielle du second ordre avec second mamebre à résoudre:

$\ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} = g$

Est tu familier(e) avec la résolution d'une telle équation?

Posté par re : Frottements mécaniques 07-09-13 à 16:43

Non je n'ai jamais vu comment résoudre ce genre d'equation

Posté par re : Frottements mécaniques 08-09-13 à 06:58

Hum hum ... Je ne connais pas la nature de tes études et donc encore moins leurs programmes. Je pense que tu dois pouvoir trouver sur le net et en particulier dans la section Fiches de l'Ile des Maths, des éléments de cours pour étoffer tes connaissances côté calcul différentiel.

Pour ce problème:

La solution est la somme d'une solution particulière de $\ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} = g$
et d'une solution de l'équation $\ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} = 0$

Les conditions initiales du problème fixant (ou pas d'ailleurs) une solution parmi toutes celles possibles à l'étape ci dessus.

1) solution particulière: $\ddot{x} = g\tau =cste$ est "évidente" donc $x = g\tau.t$
2) solution de l'équation sans second membre $x = \alpha.e^{-\frac{t}{\tau}}+ \beta$

Reste à préciser les constantes $\alpha, \beta$ grâce aux conditions initiales:

A $t = 0$ on a $x = 0$ (par choix de l'origine) et $\dot{x} = 0$ (par interprétation du mot "lâcher")

On a donc $\alpha + \beta = 0$ et $g\tau - \frac{\alpha}{\tau} = 0$

ce qui donne, sauf grosse bavure de ma part ...:

$x = g\tau^2(\frac{t}{\tau} - 1 + e^{-\frac{t}{\tau}})$