Niveau autre

Frottement de l'air

Posté par
itz 23-09-13 à 16:43

Bonjour,

Soit une bille que l'on lâche dans l'air. Soient

F = force de frottement ;
K = un coefficient sans dimension ;
s = la surface ;
m = la masse.

Soit enfin l'expression $F = K.m^{\alpha}.v^{\beta}.s^{\gamma}$ . Déterminer la valeur des puissances $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ .

----

Comme v et s ne sont pas des grandeurs primaires mais des dérivées de grandeurs fondamentales, la longueur pour s et la durée pour v, je pose :

Longueur = L ;
Temps = T.

J'exprime ensuite v et s en fonction des grandeurs fondamentales.

$v = L \times T^{-1}$ & $s = L^2$ .

Je substitue v et s dans $F = K.m^{\alpha}.v^{\beta}.s^{\gamma}$ :

$F = K.m^{\alpha}.(LT^{-1})^{\beta}.(L^2)^{\gamma} \\ F = Km^{\alpha}.L^{\beta}.T^{-\beta}.L^{2\gamma} \\ F = Km^{\alpha}.L^{\beta+2\gamma}.T^{-\beta}$

Soit $\alpha = 1,\ \gamma = -\frac{1}{2},\ \beta = 2$

Je substitue et j'obtiens donc l'équation :

$F = Km.v^2.s^{-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow F = Km.L^{-3}.s.v^2$ .

On auarait donc $s^{-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow L^{-1} \Leftrightarrow L^{-3}.L^2 \Leftrightarrow L^{-3}S$ .

Problème : je ne comprends pas le "sens physique" de ce $s^{-\frac{1}{2}$ . Pouvez-vous m'aider ?

Posté par re : Frottement de l'air 23-09-13 à 17:01

Bonjour,

Dimension d'une force : M.L.T^-2

Donc :

M.L.T^-2 = M.L.T^-.L²
donc
= 1
= 2
2 + 2 = 1
c'est-à-dire = -(1/2)

Finalement :

$\large F\,=\,K.\frac{m.v^2}{\sqrt{s}}$

Posté par re : Frottement de l'air 23-09-13 à 22:07

Oui je comprends bien que s à la puissance 1/2 est égale à racine de s. Mais la question est : pourquoi intervient la racine de la surface d'un point de "vue réel". Je cherche une explication du sens...

On aurait pu pensé que seule une partie de la surface d'un objet est en frottement avec l'air (ça semble logique et plausible). Mais ce fait est en réalité intégré dans le coefficient sans dimension K. Donc je cherche toujours pourquoi...

Posté par re : Frottement de l'air 24-09-13 à 15:49

En notant la masse volumique de la bille, tu peux montrer facilement que

$\Large \frac{m}{\sqrt{S}}\,=\,\frac{\rho.S}{6\sqrt{\pi}}$
et donc la relation devient :

$\Large F\,=\,\frac{K}{6\sqrt{\pi}}.\rho.S.v^2\,=\,K'.\rho.S.v^2$

Une force proportionnelle à la surface...

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