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forces centrales

Posté par
kaboreced 25-05-19 à 15:19

bonjour est ce que vous pouvez m'aidez sur cet exercice


Une particule P,de masse m, est attirée par une particule fixée en O, de masse M, selon la force
\vec{F}=-G\frac{mM}{r^3}\vec{r}
G représente la constante de gravitation et\vec{r}=\vec{OP}
soit \vec{p}la quantité de mouvement de la particule P et \vec{L} son mouvement cinetique
1)calculer le vecteur\frac{d\vec{L}}{dt}
2)evaluer la quantité \vec{L}.\vec{r}
On pose le vecteur \vec{R} tel que \vec{R}=\vec{p}*\vec{L}-Gm^2M\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}
3)evaluer la quantité  \vec{L}.\vec{R} et conclure quant à l'orientation de  \vec{L} par rapport à  \vec{R} et celle de  \vec{R} par rapport au plan de la de la trajectoire
4)A l'aide du calcul de  \frac{d\vec{R}}{dt} montrer que  le vecteur \vec{R} est également une constante du mouvement
5)soit l'angle que font les vecteurs  \vec{R} et  \vec{r}.Determiner l'équation de la trajectoire de P,la mettre sous la forme  ||\vec{r}||=f(||\vec{L}||.||\vec{R}||.\theta)

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 15:26

Bonjour
Qu'as-tu réussi à faire par toi-même ? Expose-le ici et pose des questions précises sur ce qui te bloque.
La fiche suivante pourra éventuellement t'aider mais laisse tomber les formules de Binet : ton énoncé propose une autre démonstration pour obtenir l'équation polaire de la trajectoire.

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 15:33

Petite remarque : Personnellement, j'ajouterai à la question 1, la sous-question suivante : en déduire que la trajectoire de P appartient à un plan contenant le point O.
Cela est utile pour répondre aux questions suivantes.

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 16:02

alors pour la première question j'ai fait
\vec{L}=\vec{OP}.m.\vec{v_m}
d'après le théorème du moment cinétique
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M_0}(\vec{F})=\vec{OP}.\vec{F}=\vec{0}
c'est bon?

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 17:19

Tu sembles confondre produit scalaire et produit vectoriel. Je rectifie :

\vec{L}=\vec{OP}\wedge\left(m.\vec{v_{P}}\right)

\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M_{0}}(\vec{F})=\vec{OP}\wedge\vec{F}=\vec{0}

car les vecteurs \vec{OP} et \vec{F} sont colinéaires à chaque instant puisque la force est « centrale ».

Le vecteur moment cinétique est donc un vecteur fixe dans le référentiel d'étude supposé bien sûr galiléen. Propriétés du produit vectoriel :

\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{L} et \overrightarrow{v}\bot\overrightarrow{L} à chaque instant. Je te laisse conclure quant à la trajectoire (mon message précédent).

Je te laisse continuer.

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 17:27

Remarque pour la suite : si le vecteur \vec{R} désigne bien, comme je le pense, le vecteur de Runge et Lenz :

\vec{R}=\vec{p}\wedge\vec{L}-Gm^{2}M\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}
Encore un produit vectoriel puisque \vec{R} est un vecteur !

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 18:52

oui la trajectoire est plane
pour la deuxième question j'ai \vec{L}.\vec{r}=\vec L \\ \begin{pmatrix} \\ 0 \\ \\ 0 \\ \\ mr^2\theta   \\ \end{pmatrix} \wedge \\

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 18:57

\vec{L}.\vec{r}=$\vec L \\ \begin{pmatrix} \\ 0 \\ \\ 0 \\ \\ mr^2\theta   \\ \end{pmatrix}$\wedge \vec r \\ \begin{pmatrix} \\ r \\ \\ 0 \\ \\ 0   \\ \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \\ 0 \\ \\ mr^3\theta \\ \\ mr^2\theta \\ \end{pmatrix}

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 20:17

ah non je me suis tromper ici c'est le produit scalaire pas le produit vectoriel
\vec{L}.\vec{r}=\vec{0}

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 21:30

Oui bien-sûr mais un produit scalaire n'est pas un vecteur.  Le résultat est évident quand on a vu que le vecteur moment cinétique est perpendiculaire au plan de la trajectoire.

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 21:38

oui etourderie  de ma part un produit scalaire  ne donne pas de vecteur
sinon \vec{L}.\vec{R}=0 aussi que dois-je conclure ?

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 21:49

Le vecteur L est perpendiculaire au plan de la trajectoire et le vecteur  R est perpendiculaire au vecteur L , donc...

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 21:57

le plan de la trajectoire est perpendiculaire au vecteur R ?

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 22:09

pour la dérivé de du vecteur \vec{R} par rapport au temps j'arrive pas à aboutir quelque part

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 22:32

Aides toi d'un schéma en reprenant mon message précédent pour t'en convaincre  :  le vecteur R appartient au plan de la trajectoire.

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 22:45

c'est fait j'ai compris pour le 3)
pour le 4)?

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 22:55

Puisqu'il faut démontrer que le vecteur est fixe, il faut démontrer que sa dérivée par rapport au temps est le vecteur nul.  Il faut partir de l'expression du vecteur fournie et dériver par rapport à t.

Posté par
kaborecedre : forces centrales 25-05-19 à 23:25

oui mais j'y arrive pas
j'ai posé K=(GmM/r)
ce qui fait que \vec{R}=K\vect{v}\wedge\vec{L}- \vec{e_r}
mais après j'arrive pas à trouver un vecteur nul

Posté par
vanoisere : forces centrales 25-05-19 à 23:41

Citation :
j'ai posé K=(GmM/r)

Grosse erreur : r est susceptible de varier en fonction du temps de même que le vecteur \vec{r}
On a montré précédemment que le vecteur \vec{L} est fixe mais le vecteur \vec{p} est variable.

Posté par
kaborecedre : forces centrales 26-05-19 à 00:00

comment faire alors?

Posté par
kaborecedre : forces centrales 26-05-19 à 00:28

j'ai gardé les valeurs intacts
je suis arrivé au résultat suivant \vec{R}=\vec{F}\wedge\vec{L}-Gm^2M\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||} mais ensuite ?

Posté par
kaborecedre : forces centrales 26-05-19 à 00:30

et ||\vec{r}||=r^2 je crois alors

Posté par
vanoisere : forces centrales 26-05-19 à 12:43

Tu écris un peu n'importe quoi ! Il faut partir de l'expression du vecteur R et dériver par rapport au temps. Deux indications :

\dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F}=-G\dfrac{mM}{r^{2}}\cdot\overrightarrow{u_{r}}

avec \overrightarrow{u_{r}} :vecteur unitaire colinéaire au vecteur OP. Puisque il a été démontré que la trajectoire est plane, il est possible de repérer la position de P dans le plan de la trajectoire par ses coordonnées polaires.
\\ \dfrac{\overrightarrow{r}}{\Vert\overrightarrow{r}\Vert}=\overrightarrow{u_{r}}\quad et\quad\dfrac{d\overrightarrow{u_{r}}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}

Posté par
kaborecedre : forces centrales 26-05-19 à 15:27

c'est bon c'est faitt
pour la dernière question?

Posté par
vanoisere : forces centrales 26-05-19 à 16:08

Question 5 : la seule pas vraiment évidente, dont je ne parle pas sur le document que je t'ai fourni. L'astuce consiste à exprimer le produit scalaire \vec{r}\cdot\vec{R} de deux façons différentes sachant que le vecteur \vec{R} est un vecteur fixe du plan de la trajectoire. Sa norme R en particulier est fixe.
Première méthode : en orientant arbitrairement l'axe (Ox) du plan de la trajectoire de façon que le vecteur \vec{R} soit colinéaire à cet axe :

\overrightarrow{r}.\overrightarrow{R}=R.r.\cos\left(\theta\right)
Deuxième méthode : en effectuant le produit scalaire en utilisant l'expression du vecteur R fournie par l'énoncé :
\overrightarrow{r}.\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}.\left(p\wedge\vec{L}-Gm^{2}M\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}\right)
PS : n'oublie pas qu'un produit mixte est invariant par permutation circulaire...


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