Niveau maths sup

Force élastique

Posté par
Kai22 17-02-17 à 15:34

Bonjour !

Je fais appel à vous car j'ai besoin d'une petite vérification de mon travail sur l'exercice suivant :
Soit un référentiel galiléen R_g de repère (O; $\vec{ex}$ ; $\vec{ey}$ ; $\vec{ez}$ . Un objet P ponctuel de masse m constante se déplace sans frottements le long d'un demi-cercle de rayon a. P est attaché à un ressort (k;l₀) dont l'extrémité fixe est attaché au point O' (OO'=a). Le point P est déterminé par l'angle = (Ox;OP).

Questions :
1) Exprimer $\vec{O'P}$ en fonction de a et dans la base cylindrique (polaire).
En déduire une expression de la norme O'P.

2) Exprimer la tension $\vec{T}$ du ressort en fonction de a, k, l₀ et dans la base polaire.

3) Quelle est l'expression de la vitesse de P dans R_g ?

Voilà mes réponses, à vérifier... :

1) $\vec{O'P}=\vec{O'O}+\vec{OP}$ = $a\vec{ex}+a\vec{er}$ avec $\vec{ex}=cos(\theta )\vec{er}-sin(\theta )\vec{e\theta }$ d'où $\vec{O'P}=a*\vec{er}(cos(\theta )+1)-a*sin(\theta )\vec{e\theta }$

D'où $O'P=\sqrt{a^2(cos(\theta )+1)^2+a^2sin(\theta )^2}=a\sqrt{2(1+cos(\theta )}$ sauf erreur.

2) Force de rappel élastique : $\vec{T}=-k(l(t)-l_0)\vec{ex}$ si l'on suppose P au point exactement opposé à O' sur (Ox).
D'où : $\vec{T}=-k(\sqrt{2(cos(\theta )+1)}-l_0)(cos(\theta )\vec{er}-sin(\theta )\vec{e\theta )}$ à simplifier évidemment mais ça, je peux le faire si vous me confirmez que c'est bon (j'ai peut-être fait des erreurs de signes...).

3) Simplement je peux dériver $\vec{O'P}$ et ainsi de suite.
Ma dérivée donne :
$\dot{\vec{O'P}}=a*(cos(\theta )+1)\dot{\theta }\vec{e\theta }+a*\vec{er}(-\dot{\theta }sin(\theta ))-\dot{\theta }a*cos(\theta )\vec{e\theta }+a\dot{\theta }sin(\theta )\vec{er}$

Le reste, je sais faire

Qu'en pensez-vous ?

Merci par avance pour vos corrections

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 15:35

J'ajoute évidemment le schéma qui va bien.

Force élastique

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 15:52

Bonjour
Cet exercice est tellement classique que je pense avoir le schéma en tête... Heureusement car sinon, difficile de t'aider !
Donc, sous réserve que le schéma auquel je pense est le bon :
Ta distance O'P est correcte. Tu aurais pu l'obtenir de façon plus directe en remarquant que le triangle (POO') est isocèle, les angles aigus en O' et P étant ainsi égaux à /2. On obtient ainsi de façon immédiate :

$0'P=2a.\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$
Pour la vitesse de P, puisque le point O' est fixe, il est plus simple de dériver par rapport au temps les coordonnées du vecteur OP.

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 15:53

C'est bien le schéma auquel je pensais !

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 16:07

Pour l'expression du vecteur T : je pense qu'elle est demandée pour une position quelconque du point P sur le demi cercle, pas seulement pour =0. Une façon possible d'exprimer dans le cas général ce vecteur force consiste à poser :

$\overrightarrow{T}=-k\left(\Vert\overrightarrow{O'P}\Vert-l_{0}\right)\cdot\frac{\overrightarrow{O'P}}{\Vert\overrightarrow{O'P}\Vert}$
Un peu compliqué a priori mais pas trop tout de même si on pense à l'angle moitié /2...

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 16:11

Je te laisse réfléchir un proposer une solution...

Posté par re : Force élastique 17-02-17 à 16:30

vanoise @ 17-02-2017 à 16:07

$\overrightarrow{T}=-k\left(\Vert\overrightarrow{O'P}\Vert-l_{0}\right)\cdot\frac{\overrightarrow{O'P}}{\Vert\overrightarrow{O'P}\Vert}$

Enfin, c'était exactement ce dont j'avais besoin ! Je galérerais toujours un peu avant car je ne savais pas quel vecteur prendre pour exprimer un force de rappel élastique.

Un grand merci

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