Niveau maths spé

Fonctions propres de l'Hamiltonien

Posté par
confiture96 28-12-16 à 19:03

Bonjour, je bloque sur une question d'un QCM dont voici l'énoncé:

On considère une particule de masse m, pouvant se déplacer suivant un seul axe (Ox), soumise à un potentiel V (x) défini par :
V(x)=−k/x pour x>0
V(x)=+∞ pour $x\leq 0$

On peut montrer que deux fonctions particulières φ1(x) et φ2(x) sont fonctions propres du hamiltonien auquel est soumise la particule. Ce sont les fonctions (pour x > 0) :

a) $\phi _1(x)=bxcos(ax)$ et $\phi _2(x)=bx \sin (ax)$

b) $\phi _1(x)= x\exp (-ax)$ et $\phi _2(x)= (x+bx^2)\exp (-ax/2)$

c) $\phi _1(x)= \frac{1}{x}\exp (-ax)$ et $\phi _2(x)= \frac{1}{b x^2+x}\exp (-ax/2)$

d) $\phi _1(x)= x\exp (-ax^2)$ et $\phi _2(x)=(bx^2-x)\exp (-ax^2)$

A present voici la démarche que j'ai essayé de mener mais en vain:

j'ai réutilisé l'équation du cours :

$\frac{h^2}{2m}\frac{d\psi ^2}{dx^2}+ (E+V)\psi =0$
(excusez je vous prie le h "barre" et les dérivées secondes mal écrites, je manie peu LateX).

En dérivant mon potentiel j'ai donc mon E et je serai censée trouvée le fonction adequate en dérivant 2 fois, cependant rien ne va...

Si quelqu'un pourrait m'aider ça serait vraiment gentil,

Merci d'avance pour votre aide ,
en espérant que mon message vous ai parut clair

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 30-12-16 à 11:30

Hello

Citation :
En dérivant mon potentiel j'ai donc mon E

E est l'énergie de ta particule libre

V le potentiel dans l'espace

Une considération sur le fait que le fonction d'onde bornée exclut il me semble a) (à l'infini) et c) (en zéro)

Restent b) ou d)

Pour b)

$\frac{d^2\phi_1}{dx^2} = ae^{ax}(ax-2)$

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a^2x-2a}{x}\phi_1 +\frac{k}{x}\phi_1 = - E\phi_1$

Sauf inattention de ma part.
Je te laisse poursuivre?

PS: la constante de Dirac en Latex c'est tout simplement \hbar

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 31-12-16 à 15:30

Merci pour votre réponse !

Mais je ne comprends pas bien, j'en suis aussi arrivé là aussi mais comment faire si je ne connais pas le E ?

Merci d'avance

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 31-12-16 à 19:34

Tu dois avoir en tête que le problème est aussi un problème d'algèbre: la recherche de vecteurs propres (ici les fonctions d'onde) passe par la détermination (ou bien permet cette détermination) des valeurs propres (ici énergie total, E, de la particule) de la fonction.

Autrement dit, en trouvant l'état caractérisé par la fonction propre , tu trouveras aussi le niveau d'énergie E qui lui correspond.

Pratiquement ici, tu vas établir une condition sur (a,k,m) pour que ₁ soit fonction propre (ie annule le terme en 1/x)

Le coefficient E sera alors déterminé

C'est plus clair?

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 03-01-17 à 09:31

Je ne comprends rien ....

Si je dois établir moi même les conditions sur a,k,m je peux faire en sorte que cela marche pour les deux solutions possibles restantes.
Comment savoir laquelle choisir ?

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 03-01-17 à 10:01

Citation :
je peux faire en sorte que cela marche pour les deux solutions possibles restantes

Pas tout à fait

c) est éliminé d'office car imposerait une onde infinie à l'origine

d) en faisant le calcul de la dérivée seconde pour $\phi_1$

$[\frac{\hbar^2}{2m}(4a^2x^2-6a) +\frac{k}{x}]\phi_1 = - E\phi_1$

Tu ne peux rendre constant le coefficient dans le membre de gauche (sauf à avoir k et a nuls ...)

Est ce plus clair?

Par contre pour b) nous avions

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{a^2x-2a}{x}\phi_1 +\frac{k}{x}\phi_1 = - E\phi_1$

Donc

$[\frac{\hbar^2}{2m}(a^2 -\frac{2a}{x}) +\frac{k}{x}] \phi_1  = - E\phi_1$

Donc pour   $a = \frac{km}{\hbar^2}$

Tu obtiens l'égalité:

$\frac{m.k^2}{\hbar^2}\phi_1  = - E\phi_1$

$E_1 = - \frac{m.k^2}{\hbar^2}$   est le niveau d'énergie correspondant à l'état   $\phi_1$

$E_1$   est la valeur propre correspondant au vecteur propre   $\phi_1$

Posté par re : Fonctions propres de l'Hamiltonien 04-01-17 à 11:24

Hello

Juste pour finir la détermination des états propres

(nous en étions arrivés à la conclusion de b) était le seul cas où $\phi_1$ était solution, ce qui dans le cas du QCM, validait le choix de la réponse)

Pour $b = -\frac{km}{2\hbar^2}$ , $\phi_2$ est bien fonction propre de l'Hamiltonien,

Et $E_2 = - \frac{m.k^2}{8\hbar^2}$ est le niveau d'énergie associé

Resterait maintenant à interpréter physiquement ces résultats ...